Призма

В основании треугольной призмы лежит треугольник. Если это прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, его площадь равна $\frac12 ab$ (площадь прямоугольного треугольника). Тогда $V = \frac12 ab \cdot h$.

Множитель $\frac12$ — часть площади треугольника. Объём призмы его не содержит: у призмы нет множителя $\frac13$, он есть у пирамиды и конуса.

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. У каждого одна сторона — сторона основания, другая — боковое ребро $h$. Сумма их площадей $a_1 h + a_2 h + \ldots = P_{осн} \cdot h$. Полная поверхность — боковая поверхность плюс два основания.

Если все стороны основания уменьшить вдвое, а высоту оставить, периметр и боковая поверхность уменьшатся вдвое: сечение через среднюю линию.

Плоскость, которая содержит боковое ребро или параллельна ему, режет призму на две призмы. Высота у них та же, поэтому объём каждой части равен площади её основания, умноженной на ту же высоту. Найдите, какую долю основания занимает основание части: такую же долю объёма занимает часть.

Диагональное сечение $ACC_1A_1$ делит прямоугольный параллелепипед пополам: диагональ $AC$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных треугольника. Многогранник $ABCA_1B_1C_1$ — треугольная призма, её объём $\frac12 abc$. Если же отрезана пирамида (например, с вершинами $A, B, C, B_1$), это другой случай: пирамида от призмы.

Отрезки из центра $O$ к вершинам делят правильный шестиугольник на шесть равных правильных треугольников. Четырёхугольник $ABCO$ — ромб из двух таких треугольников, и диагональ $AC$ делит его пополам. Поэтому треугольник $ABC$ занимает $\frac16$ площади шестиугольника.

Прямоугольник $ACDF$ — шестиугольник без треугольников $ABC$ и $DEF$: $1 - \frac16 - \frac16 = \frac23$ площади. Призма с этим основанием и той же высотой занимает $\frac23$ объёма шестиугольной призмы.