Подобные тела

Если ребро куба увеличить в $k$ раз, новый объём $(ka)^3 = k^3a^3$. Так у любого тела: в формулу объёма входят три длины, и каждая растёт в $k$ раз. Поэтому $V_2 = k^3 V_1$.

Частая ошибка — ответить $k$ или $k^2$. Проверьте на рисунке: куб с удвоенным ребром складывается из $2^3 = 8$ исходных кубов.

Поверхность тела составлена из плоских фигур. У подобных тел все эти фигуры подобны с тем же $k$, а площади подобных фигур относятся как $k^2$. Поэтому площадь поверхности, основания или сечения меняется в $k^2$ раз, а не в $k^3$.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отрезает у вершины малый конус, подобный всему конусу. Коэффициент подобия — доля высоты от вершины до плоскости. «Делит высоту в отношении $1 : 3$, считая от вершины» значит: высота малого конуса — $1$ часть из $1 + 3 = 4$, то есть $k = \frac14$.

Малый конус у вершины занимает $k^3$ объёма всего конуса. Часть, которая примыкает к основанию, — это весь конус без малого: $V - k^3V$. Так же с пирамидой, которую режет плоскость, параллельная основанию.

Жидкость в сосуде-конусе вершиной вниз — такой же малый конус: уровень жидкости в конусе.

Если меняется не каждый размер, тело не подобно исходному, и $k^3$ не работает. Посмотрите, в какой степени размер стоит в формуле объёма. В объёме конуса $V = \frac13 \pi r^2 h$ и в объёме цилиндра $V = \pi r^2 h$ радиус стоит в квадрате, а высота — в первой степени. Радиус в $k$ раз — объём в $k^2$ раз. Высота в $k$ раз — объём в $k$ раз. Если меняются оба, множители перемножают.

Так же с призмой, у которой уменьшили основание и оставили высоту: сечение через среднюю линию.