Теория к заданию 5 ЕГЭ по профильной математике Вероятность (теоремы сложения и умножения)

Задание 5 проверяет теоремы о вероятностях. Вероятности независимых событий перемножают, вероятности несовместных событий складывают. Событие «хотя бы один» находят через противоположное «ни одного». Если события могут наступить вместе, как в задачах про автоматы с кофе, работает формула для совместных событий. Реже встречаются условная вероятность, полная вероятность и выбор без возвращения.

Сначала разбейте событие на варианты, которые не могут наступить вместе. Каждый вариант — цепочка шагов: перемножьте вероятности шагов, потом сложите варианты. Дерево вероятностей показывает все варианты сразу. Обычно ответ — вероятность, то есть десятичная дробь от 0 до 1. Реже спрашивают число патронов или отношение двух вероятностей.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Правильный ответ

0,097

Пояснение

Батарейку бракуют в двух несовместных случаях: она неисправна и система её забраковала, или она исправна и система забраковала её по ошибке (полная вероятность).
Первый случай — путь по дереву, вероятности его ветвей перемножают: $0{,}05 \cdot 0{,}99 = 0{,}0495$ .
Второй случай: батарейка исправна с вероятностью $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ (противоположное событие), $0{,}95 \cdot 0{,}05 = 0{,}0475$ .
Складываем: $0{,}0495 + 0{,}0475 = 0{,}097$ (сложение вероятностей). Ответ: 0,097.

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

5Умножение вероятностей независимых событийвстречается в 6 из 10 заданий

Часто

Попадаются регулярно

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Правильный ответ

0,059

Пояснение

Гипотезы: $H_1$ — батарейка неисправна, $P(H_1) = 0{,}05$ ; $H_2$ — батарейка исправна, $P(H_2) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$ . Событие $A$ — система забракует батарейку: $P(A \mid H_1) = 0{,}99$ , $P(A \mid H_2) = 0{,}01$ .

По формуле полной вероятности складывают два несовместных пути к $A$ : $P(A) = 0{,}05 \cdot 0{,}99 + 0{,}95 \cdot 0{,}01 = 0{,}0495 + 0{,}0095 = 0{,}059$ .

Ответ: 0,059

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №5

Решать