тема 11 из 13

Выбор без возвращения

Когда предметы достают и не возвращают, после каждого шага их на один меньше, и вероятности следующего шага меняются. Вероятность цепочки — произведение дробей, у которых знаменатель уменьшается на $1$ на каждом шаге. Если порядок не важен, сложите вероятности всех порядков или посчитайте исходы через сочетания.

Реже в задании5На карте навыков

Выбор без возвращения: изменение вероятностей
—В аналитике

Знаменатель уменьшается

Вероятность того, что предметы появятся в заданном порядке, — произведение дробей. Числитель — сколько подходящих предметов осталось, знаменатель — сколько всего предметов осталось.

Запишите нужную цепочку по шагам: что достают первым, вторым, третьим.
После каждого шага уменьшите на $1$ общее число и число предметов того вида, который достали.
Перемножьте дроби: это путь по дереву опыта, ветви которого — условные вероятности.
Если порядок не важен, сложите вероятности всех порядков (несовместные события) или найдите $\frac{m}{n}$ через сочетания.

Один такого цвета, другой — другого

Выбрать «один синий и один красный» можно в двух порядках: синий, затем красный, или красный, затем синий. Пусть всего $N$ предметов, синих $a$ , красных $b$ . Оба порядка дают одно и то же произведение $\frac{a}{N} \cdot \frac{b}{N - 1}$ , поэтому $P = 2 \cdot \frac{a \cdot b}{N(N - 1)}$ .

Тот же ответ дают сочетания: пар всего $C_N^2$ , подходящих $a \cdot b$ , поэтому $P = \frac{a \cdot b}{C_N^2}$ .

Пример

В коробке 6 синих, 4 красных и 6 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер.

1.Всего $6 + 4 + 6 = 16$ фломастеров.
2.Синий, затем красный: $\frac{6}{16} \cdot \frac{4}{15} = \frac{24}{240} = 0{,}1$ . Красный, затем синий: $\frac{4}{16} \cdot \frac{6}{15} = 0{,}1$ .
3. $P = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2$ . Проверка: $\frac{6 \cdot 4}{C_{16}^2} = \frac{24}{120} = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Вероятность порядка: знаменатель уменьшается

Какова вероятность, что фломастеры достанут в порядке: красный, красный, синий?

Достать:

Синих

3

Красных

2

Зелёных

0

P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{3}

= 0{,}1

Знаменатели

5, 4, 3

: фломастер не возвращают, поэтому на каждом шаге их на один меньше.

Под каждым вынутым фломастером — вероятность этого шага: сколько нужных осталось из скольких всего. Нажимайте цвета, чтобы выбрать свой порядок. Ползунки меняют число фломастеров в коробке.

Первый раз — на заданном шаге

«Первый синий достанут третьим» значит: первые два — не синие, третий — синий. Это один порядок, и его вероятность — одно произведение трёх дробей. Перед третьим шагом осталось на два предмета меньше, а синих столько же, сколько было.

Пример

В ящике 2 красных и 3 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер достанут третьим по счёту?

1.Первый красный: $\frac{2}{5}$ .
2.Второй красный: остался один красный из четырёх, $\frac{1}{4}$ .
3.Третий синий: все $3$ оставшихся синие, $\frac{3}{3} = 1$ .
4. $P = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = 0{,}1$ .

Ответ: $0{,}1$

Места в группах

Разбивка на группы — тоже выбор без возвращения, только выбирают места. Первый человек занимает любое место. Каждый следующий получает одно из оставшихся мест, поэтому знаменатель уменьшается: $N - 1$ , $N - 2$ . Числитель — свободные места в нужных группах.

Трое окажутся в одной группе из $s$ человек с вероятностью $\frac{s - 1}{N - 1} \cdot \frac{s - 2}{N - 2}$ . Для троих в разных группах второму подходят места других групп, а третьему — места последней группы. Для двоих хватает одной дроби (места в группе).

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В группе туристов 15 человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.

Правильный ответ

0,27

Пояснение

Юра занял одно место. Для Бори осталось $14$ мест, из них $10$ — в двух других подгруппах: $\frac{10}{14}$ .
Юра и Боря в разных подгруппах. Для Егора осталось $13$ мест, из них $5$ — в третьей подгруппе: $\frac{5}{13}$ .
$P = \frac{10}{14} \cdot \frac{5}{13} = \frac{25}{91} \approx 0{,}2747$ . Округлите до сотых. Ответ: $0{,}27$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать