тема 12 из 13

Схема Бернулли

Схема Бернулли — это $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом успех с вероятностью $p$ и неудача с вероятностью $q = 1 - p$ . Вероятность ровно $k$ успехов равна $C_n^k p^k q^{n-k}$ . Каждая цепочка с $k$ успехами имеет вероятность $p^k q^{n-k}$ , а таких цепочек $C_n^k$ .

Основа для задания6Реже в задании5На карте навыков

Схема Бернулли: повторные независимые испытания
—В аналитике

Формула Бернулли

Вероятность ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ , где $q = 1 - p$ .

Проверьте схему: испытания одинаковые и независимые, в каждом два исхода — успех или неудача.
Найдите $p$ — вероятность успеха в одном испытании. Если испытание само состоит из нескольких шагов, сначала найдите $p$ для него.
$C_n^k$ — число способов выбрать, какие $k$ испытаний из $n$ будут успешными (сочетания).
В отношении двух таких вероятностей сократите общие множители до вычислений.

Откуда берётся формула

Запишите исход серии цепочкой: успех или неудача в каждом испытании. Испытания независимы, поэтому вероятность цепочки — произведение (серия независимых событий). В цепочке с $k$ успехами $k$ множителей $p$ и $n - k$ множителей $q$ : $p^k q^{n-k}$ .

Цепочки с $k$ успехами отличаются только местами успехов, и таких цепочек $C_n^k$ . Они несовместны и равновероятны, поэтому вероятность умножают на $C_n^k$ .

Пример

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}8$ . Он стреляет три раза. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно два раза.

1.Цепочки с двумя попаданиями: «попал, попал, мимо», «попал, мимо, попал», «мимо, попал, попал». Их $C_3^2 = 3$ .
2.Вероятность каждой: $0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}128$ .
3. $P_3(2) = 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384$ .

Ответ: $0{,}384$

Почему в формуле есть число цепочек

Какова вероятность ровно

2

попаданий из

3

выстрелов, если вероятность попадания

0{,}8

Выстрелов

n

3

Попаданий

k

2

Вероятность

p

0{,}8

\text{Одна цепочка: } 0{,}8^{2} \cdot 0{,}2 = 0{,}128

P_{3}(2) = C_{3}^{2} \cdot 0{,}128 = 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384

У всех

3

цепочек одна вероятность: меняются только места «попал». Поэтому её умножают на число цепочек.

Каждая строка — одна цепочка выстрелов с нужным числом попаданий. Вероятности кружков подписаны над цепочками. Двигайте ползунки и смотрите, сколько цепочек получается.

Отношение двух вероятностей

Вопрос «во сколько раз одна вероятность больше другой» требует частное $\frac{P_n(k)}{P_n(m)}$ . Запишите обе формулы, сократите одинаковые степени $p$ и $q$ и только потом подставляйте числа. Отношение может быть меньше $1$ .

Пример

Стрелок попадает с вероятностью $0{,}9$ и стреляет четыре раза. Во сколько раз вероятность ровно четырёх попаданий больше вероятности ровно трёх?

1. $P_4(4) = p^4$ , $P_4(3) = C_4^3 p^3 q = 4p^3q$ .
2. $\frac{P_4(4)}{P_4(3)} = \frac{p^4}{4p^3q} = \frac{p}{4q}$ .
3. $\frac{0{,}9}{4 \cdot 0{,}1} = \frac{0{,}9}{0{,}4} = 2{,}25$ .

Ответ: $2{,}25$

Успех из нескольких шагов

Иногда одно испытание — это несколько действий: на мишень даётся два выстрела. Тогда сначала найдите $p$ для одного испытания. Мишень поражена, если попал хотя бы один выстрел: $p = 1 - (\text{оба мимо})$ (хотя бы один). Потом подставьте это $p$ в формулу Бернулли для числа мишеней.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?

Правильный ответ

Пояснение

Мишень не поражена, если оба выстрела мимо: $0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$ . Поэтому $p = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$ , $q = 0{,}04$ .
Пять мишеней — схема Бернулли с $n = 5$ : $P_5(4) = C_5^4 p^4 q$ , $P_5(3) = C_5^3 p^3 q^2$ .
$\frac{P_5(4)}{P_5(3)} = \frac{5 p^4 q}{10 p^3 q^2} = \frac{p}{2q} = \frac{0{,}96}{0{,}08} = 12$ . Ответ: 12.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать