тема 7 из 13

Событие «хотя бы один»

Событие «хотя бы одно наступит» противоположно событию «ни одно не наступит». Поэтому его вероятность считают как 1 минус вероятность того, что не наступит ни одно. Для независимых событий «ни одного» — это произведение, и для $n$ одинаковых испытаний ответ равен $1 - q^n$ .

Часто в задании5На карте навыков

Событие «хотя бы один» через противоположное
—В аналитике

Хотя бы одно = 1 − ни одного

Событие «хотя бы одно из событий наступит» противоположно событию «ни одно не наступит». Поэтому $P(\text{хотя бы одно}) = 1 - P(\text{ни одного})$ .

Назовите противоположное событие: «все лампы перегорят», «все выстрелы мимо».
Если события независимы, вероятность «ни одного» — произведение вероятностей того, что каждое не наступит.
Вычтите результат из 1.
Если события зависимы и дана вероятность того, что они наступят вместе, «ни одного» нельзя найти умножением. Тогда работает формула сложения совместных событий.

Хотя бы одно: всё, кроме угла «ни одного»

A

B

независимы,

P(A) = 0{,}6

P(B) = 0{,}7

. Какова вероятность, что наступит хотя бы одно?

наступило хотя бы одноостальные исходы

Ширина левой полосы

P(A)

0{,}6

Высота верхней полосы

P(B)

0{,}7

P(A \cup B) = 1 - P(\bar A) \cdot P(\bar B)

P = 1 - 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 1 - 0{,}12 = 0{,}88

Синим закрашено всё, кроме угла «ни одного» площадью

0{,}12

. Поэтому из 1 вычитают эту площадь.

Квадрат площади 1 — все исходы двух независимых событий. Площадь каждой части — её вероятность. Двигайте ползунки

P(A)

P(B)

Несколько одинаковых испытаний

Пусть у каждого из $n$ независимых событий одна и та же вероятность не наступить $q$ . Тогда $P(\text{ни одного}) = q^n$ и $P(\text{хотя бы одно}) = 1 - q^n$ .

Прочитайте, какое событие нужно. В задачах про лампы спрашивают «хотя бы одна не перегорит». Противоположное событие — «перегорят все». Поэтому $q$ здесь — вероятность перегорания из условия, а не $1 - p$ .

Пример

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

1.Противоположное событие: перегорят все три лампы.
2. $0{,}3^3 = 0{,}027$ .
3. $1 - 0{,}027 = 0{,}973$ .

Ответ: $0{,}973$

Мишень и несколько выстрелов

Если на одну мишень даётся несколько выстрелов, мишень поражена, когда попал хотя бы один выстрел. При вероятности попадания $p$ и двух выстрелах это $1 - (1 - p)^2$ . Стрелок стреляет второй раз только после промаха, но ответ тот же: мишень цела, только если оба выстрела мимо.

Эту вероятность затем берут как вероятность успеха для одной мишени в схеме Бернулли. Сколько выстрелов нужно, чтобы вероятность поразить цель стала не меньше заданной, разобрано в теме «Наименьшее число испытаний».

Пример

Вероятность поразить мишень одним выстрелом равна 0,6. На мишень даётся не более двух выстрелов. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.

1.Промах: $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ . Мишень не поражена, если оба выстрела мимо: $0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16$ .
2. $1 - 0{,}16 = 0{,}84$ .

Ответ: $0{,}84$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать