Умножение вероятностей независимых событий

События независимы, если вероятность одного не меняется от того, наступило ли другое. Обычно это разные выстрелы, разные лампы, разные магазины или партии. Условие часто говорит прямо: «независимо друг от друга». Отдельные выстрелы и лампы в задачах считают независимыми, даже если этих слов нет.

Если в условии дана вероятность того, что наступят оба события, сравните её с произведением. Совпадает — события независимы. Не совпадает — события зависимы, и вероятность «оба» берут только из условия.

Вероятность того, что наступят оба независимых события, равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Вероятности могут быть разными. Для трёх и более независимых событий перемножают все вероятности: три продавца заняты одновременно с вероятностью $0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}343$.

Если нужен исход «не наступит», а дана вероятность того, что наступит, сначала найдите $1 - p$. Батарейка бракованная с вероятностью 0,06, значит исправная — с вероятностью 0,94, а обе исправны с вероятностью $0{,}94^2 = 0{,}8836$.

Событие «ни одно не наступит» — это «не наступит $A$ и не наступит $B$». Если $A$ и $B$ независимы, то $\bar A$ и $\bar B$ тоже независимы. Поэтому $P(\bar A \cap \bar B) = \big(1 - P(A)\big)\big(1 - P(B)\big)$.

Через это событие считают вероятность того, что хотя бы одно наступит.

Стрелок стреляет несколько раз, и условие задаёт исход каждого выстрела: «первые три — попал, последние два — промах». Выстрелы независимы, поэтому вероятность серии — произведение: множитель $p$ за каждое попадание и $1 - p$ за каждый промах. Для $k$ попаданий и $n - k$ промахов в заданном порядке это $p^k (1 - p)^{n - k}$. Серию удобно нарисовать деревом: одна серия — один путь, его вероятность — произведение ветвей.

Если порядок не задан («ровно три попадания из пяти»), подходят несколько серий. Их число и общую вероятность находят по схеме Бернулли. Если просят округлить ответ, следуйте правилу записи ответа.