тема 2 из 8

Классическое определение вероятности

Если опыт имеет $n$ равновозможных исходов и $m$ из них благоприятны событию $A$ , то $P(A) = \frac{m}{n}$ . Сначала решите, что такое один исход, затем посчитайте все исходы и благоприятные. Вероятность лежит от 0 до 1, а в ответ пишут десятичную дробь.

Основа для заданий5 6Часто в задании4На карте навыков

Классическое определение вероятности
—В аналитике

Вероятность — доля благоприятных исходов

Пусть опыт имеет $n$ равновозможных исходов, и событию $A$ благоприятствуют $m$ из них. Тогда $P(A) = \frac{m}{n}$ .

Решите, что такое один исход: участник, билет, насос, стул за столом или пара очков на двух костях.
Посчитайте все исходы — это $n$ .
Посчитайте исходы, при которых событие наступает, — это $m$ .
Разделите $m$ на $n$ и запишите ответ десятичной дробью.

Благоприятные исходы из всех

Билетов

20

, выигрышных —

5

. Какова вероятность вытянуть выигрышный билет?

благоприятные:

5

остальные:

15

Всего билетов

20

Выигрышных

5

P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{20} = 0{,}25

Выигрышных билетов

m = 5

из

n = 20

. Дробь равна конечной десятичной, в ответ пишут

0{,}25

Каждая клетка — билет, один из

n

равновозможных исходов. Синие клетки — выигрышные билеты, то есть благоприятные исходы. Нажмите на клетку или двигайте ползунки.

Что считать исходом

Исход — это то, что выбирают наугад. «Случайно выбранный участник» — исход это участник, и $n$ равно числу всех участников. «Случайно выбранный насос» — исход это насос.

Если участники даны группами («24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады»), то $n$ — сумма всех групп. Число «остальных» находят вычитанием.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На олимпиаде по математике 550 участников разместили в четырёх аудиториях. В первых трёх удалось разместить по 110 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Правильный ответ

0,4

Пояснение

Исход — участник, выбранный наугад. Всех исходов $n = 550$ .
В первых трёх аудиториях $3 \cdot 110 = 330$ человек. В запасной — остальные: $m = 550 - 330 = 220$ .
$P = \frac{220}{550} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ . Ответ: 0,4.

Исходы должны быть равновозможными

Формула $\frac{m}{n}$ верна, только если у всех исходов одинаковые шансы. Симметричная монета, правильная кость, случайный выбор и жребий дают равновозможные исходы.

Исходы, выписанные неудачно, бывают неравновозможными. При двух бросках монеты «два орла», «две решки» и «орёл и решка» — неравные исходы: третий наступает вдвое чаще. Различайте первый и второй бросок: тогда исходов четыре, и они равновозможны (монеты и кости).

Пример

Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадут разные стороны.

1.Исход — пара «первый бросок, второй бросок»: ОО, ОР, РО, РР. Их $n = 4$ , и они равновозможны.
2.Разные стороны — ОР и РО: $m = 2$ .
3. $P = \frac{2}{4} = 0{,}5$ . Ответ $\frac{1}{3}$ неверен: исходы «два орла», «две решки», «разные стороны» неравновозможны.

Ответ: $0{,}5$

Ответ: число от 0 до 1

Всегда $0 \le P(A) \le 1$ . У невозможного события $P = 0$ , у достоверного $P = 1$ . Если вероятность получилась больше 1 или меньше 0, в решении ошибка.

В бланк пишут целое число или конечную десятичную дробь. Сократите $\frac{m}{n}$ и приведите к знаменателю 10, 100, 1000 или 10 000: $\frac{1}{8} = \frac{125}{1000} = 0{,}125$ . Если дробь не равна конечной десятичной, условие просит округлить. При округлении до сотых смотрят на третий знак после запятой: если он 5 или больше, второй знак увеличивают на 1.

Пример

В коробке 12 карандашей, 5 из них красные. Найдите вероятность того, что случайно выбранный карандаш окажется красным. Результат округлите до сотых.

1. $P = \frac{5}{12}$ . В знаменателе есть множитель 3, поэтому конечной дроби нет.
2. $5 : 12 = 0{,}416\ldots$ Третий знак 6, поэтому второй знак растёт: $0{,}42$ .

Ответ: $0{,}42$

Проверка ответа на глаз

Сравните ответ с долей благоприятных исходов. Если их меньше половины, то $P < 0{,}5$ . Если почти все исходы благоприятны, то $P$ близка к 1.

Частая ошибка — делить на число «остальных» исходов, а не всех. Такой ответ слишком большой и может даже превысить 1.

Пример

В урне 4 красных, 7 синих и 9 зелёных шаров. Наугад достают один шар. Найдите вероятность того, что он синий.

1.Все исходы — все шары: $n = 4 + 7 + 9 = 20$ .
2.Синих $m = 7$ : $P = \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$ .
3.Проверка: синих меньше половины, и $0{,}35 < 0{,}5$ . Деление на остальные шары дало бы $\frac{7}{13}$ , больше половины.

Ответ: $0{,}35$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать