тема 8 из 8

Комбинаторика

Когда исходов много, их не выписывают, а считают. Правило умножения: если первый выбор можно сделать $a$ способами, а второй — $b$ способами, то пару выборов — $a \cdot b$ способами. Из него следуют число перестановок $n!$ и число сочетаний $C_n^k$ . В задачах на рассадку и группы посадите одного человека и считайте свободные места для другого.

Реже в заданиях4 5На карте навыков

Комбинаторный подсчёт исходов
—В аналитике

Правило умножения

Если первый элемент можно выбрать $a$ способами, а после этого второй — $b$ способами, то пару можно выбрать $a \cdot b$ способами. Для трёх и более шагов числа способов перемножают так же.

Решите, важен ли порядок: место в очереди важно, состав группы — нет.
Порядок важен — перемножьте числа вариантов на каждом шаге.
Порядок не важен — считайте число сочетаний $C_n^k$ .
Рассадка и группы — посадите первого человека и считайте свободные места для второго.
Вероятность — число благоприятных наборов, делённое на число всех (классическое определение).

Выбор по шагам

Разбейте выбор на шаги и для каждого шага найдите число вариантов. Число всех наборов — произведение этих чисел. Так получаются $2^n$ наборов для $n$ бросков монеты и $6 \cdot 6 = 36$ пар для двух костей (монеты и кости).

Пример

Кодовый замок открывает комбинация из трёх цифр, каждая от 0 до 9. Вор набирает комбинацию наугад. Найдите вероятность того, что он откроет замок с первой попытки.

1.Первая цифра — 10 вариантов, вторая — 10, третья — 10.
2.Всех комбинаций $n = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ , подходит одна.
3. $P = \frac{1}{1000} = 0{,}001$ .

Ответ: $0{,}001$

Перестановки: число порядков

Расставить $n$ разных предметов по порядку можно $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ способами: на первое место $n$ вариантов, на второе $n - 1$ , и так далее. Например, $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ .

При жребии все $n!$ порядков равновозможны. Поэтому каждый участник с одной и той же вероятностью $\frac{1}{n}$ попадает на любое место (жребий и порядок).

Пример

Четыре спортсмена — Аня, Боря, Вика и Гена — по жребию определяют порядок выступления. Найдите вероятность того, что Аня выступит первой.

1.Всех порядков $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .
2.Аня первая, а остальные трое стоят в любом порядке: $m = 3! = 6$ .
3. $P = \frac{6}{24} = 0{,}25$ . Это $\frac{1}{4}$ : каждый из четырёх с равной вероятностью выступает первым.

Ответ: $0{,}25$

Сочетания: выбор без учёта порядка

Выбрать $k$ предметов из $n$ , когда порядок не важен, можно $C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ способами. Для малых $k$ : $C_n^1 = n$ , $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ , $C_n^3 = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$ .

Если в наборе нужны части разного вида (один синий и один красный), то число благоприятных наборов — произведение чисел способов выбрать каждую часть.

Пример

В коробке 4 синих, 3 красных и 9 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

1.Всего $4 + 3 + 9 = 16$ фломастеров. Два из них выбирают $C_{16}^2 = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120$ способами.
2.Синий — 4 способа, красный — 3 способа: $m = 4 \cdot 3 = 12$ .
3. $P = \frac{12}{120} = 0{,}1$ .

Ответ: $0{,}1$

Круглый стол: места для второго

Посадите первую девочку на любой стул: от её места ответ не зависит. Для второй девочки остаются $n - 1$ свободных стульев, все они равновозможны. Рядом с первой — 2 стула, поэтому $P(\text{рядом}) = \frac{2}{n - 1}$ .

«Не рядом» — остальные $n - 3$ стула (противоположное событие). «Между девочками один мальчик» — тоже 2 стула: через один слева и через один справа.

Пример

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

1.Первая девочка села. Свободных стульев $9 - 1 = 8$ .
2.Рядом с ней 2 стула: $m = 2$ .
3. $P = \frac{2}{8} = 0{,}25$ .

Ответ: $0{,}25$

Стулья для второй девочки

За круглым столом

9

стульев. Какова вероятность, что две девочки сядут рядом?

Девочки:

Д — девочкаподходящие:

2

остальные:

6

Стульев за столом

9

Свободных стульев:

n = 9 - 1 = 8

Подходящих:

m = 2

P = \frac{m}{n} = \frac{2}{8} = 0{,}25

Свободных стульев для второй девочки

8

, все равновозможны. Нажмите на стул, чтобы посадить её.

Первая девочка (Д) уже сидит. Вторая с равной вероятностью садится на любой свободный стул, синие стулья подходят событию. Выберите событие, нажмите на стул или двигайте ползунок.

Группы: места в группе

Деление на группы — та же рассадка: в каждой группе столько мест, сколько в ней человек. Поставьте первого друга на любое место. Для второго остаются $n - 1$ мест, из них в группе первого — $s - 1$ , где $s$ — размер группы.

Поэтому $P(\text{в одной группе}) = \frac{s - 1}{n - 1}$ . «В разных группах» — остальные $n - s$ мест.

Пример

В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.

1.Саша занял место. Для Насти свободно $51 - 1 = 50$ мест.
2.В группе Саши свободно $17 - 1 = 16$ мест.
3. $P = \frac{16}{50} = 0{,}32$ .

Ответ: $0{,}32$

Места для Пети в группах

3

группы по

7

учеников. Какова вероятность, что Митя и Петя попадут в разные группы?

Митя и Петя:

М — Митя, П — Петяподходящие:

14

остальные:

6

Групп

3

Учеников в группе

7

Свободных мест:

n = 3 \cdot 7 - 1 = 20

Подходящих:

m = 20 - 6 = 14

P = \frac{m}{n} = \frac{14}{20} = 0{,}7

Свободных мест для Пети

20

, все равновозможны. Нажмите на место, чтобы посадить Петю.

Митя (М) уже занял место в группе 1. Петя с равной вероятностью занимает любое свободное место, синие места подходят событию. Выберите событие, нажмите на место или двигайте ползунки.

Трое в разных группах

Если друзей трое, считайте наборы мест. Три человека занимают 3 места из $n$ : всего $C_n^3$ наборов. Благоприятный набор — по одному месту в каждой из трёх групп по $s$ мест: $s \cdot s \cdot s$ наборов.

Вероятность того, что все трое окажутся в одной группе, удобно считать по шагам: места занимают по очереди (места в группах).

Пример

В группе туристов 15 человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.

1.В каждой подгруппе $15 : 3 = 5$ мест. Друзья занимают 3 места из 15: $C_{15}^3 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{6} = 455$ наборов.
2.По месту в каждой подгруппе: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ наборов.
3. $P = \frac{125}{455} = \frac{25}{91} = 0{,}274\ldots \approx 0{,}27$ .

Ответ: $0{,}27$

Перебор наборов по порядку

Если наборов немного, выпишите их по порядку: сначала те, что начинаются с 1, потом с 2, и так далее. Так ни один набор не потеряется и не повторится. Условие «известно, что…» оставляет только подходящие наборы (условие сужает исходы).

Пример

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

1.Запись 123 значит: 1 очко, затем 2, затем 3. Наборы с суммой 6 по порядку: 114, 123, 132, 141, 213, 222, 231, 312, 321, 411. Их $n = 10$ , все равновозможны.
2.Тройка есть в наборах 123, 132, 213, 231, 312, 321: $m = 6$ .
3. $P = \frac{6}{10} = 0{,}6$ .

Ответ: $0{,}6$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать