тема 3 из 8

Противоположное событие

Противоположное событие $\bar A$ наступает тогда, когда не наступает $A$ . Вместе $A$ и $\bar A$ охватывают все исходы, поэтому $P(\bar A) = 1 - P(A)$ . К противоположному событию переходят, когда его проще посчитать: «не достанется», «без дефекта», «хотя бы один».

Основа для задания5Часто в задании4На карте навыков

Вероятность противоположного события
—В аналитике

Вероятность противоположного события

Событие $\bar A$ («не $A$ ») наступает ровно тогда, когда $A$ не наступает. Поэтому $P(\bar A) = 1 - P(A)$ .

Найдите в вопросе «не», «без», «ни разу» или «хотя бы один».
Если дана вероятность $P(A)$ , вычтите её из 1.
Если даны числа исходов, исходов $\bar A$ столько: $n - m$ . Тогда $P(\bar A) = \frac{n - m}{n}$ .
Проверка: $P(A) + P(\bar A) = 1$ .

Событие и противоположное событие

Билетов

40

, в

12

из них есть вопрос о логарифмах. Какова вероятность, что в билете вопроса нет?

с вопросом

(A)

12

без вопроса

(\bar A)

28

Всего билетов

40

С вопросом

12

P(A) = \frac{12}{40} = 0{,}3

P(\bar A) = 1 - P(A) = \frac{28}{40} = 0{,}7

Билетов без вопроса

28

, с вопросом

12

: вместе это все

40

. Поэтому

P(A) + P(\bar A) = 1

Каждая клетка — экзаменационный билет. Синие — билеты с вопросом о логарифмах (событие

A

), оранжевые — без него (событие

\bar A

). Нажмите на клетку или двигайте ползунки.

Даны числа исходов

Если известно, что событие $A$ наступает в $m$ исходах из $n$ , то для $\bar A$ остаются $n - m$ исходов. Можно сразу разделить $n - m$ на $n$ , а можно найти $P(A)$ и вычесть из 1: ответ один и тот же.

Пример

В лотерее 200 билетов, из них 14 выигрышных. Найдите вероятность того, что купленный наугад билет окажется невыигрышным.

1. $A$ — билет выигрышный: $m = 14$ , $n = 200$ .
2.Невыигрышных билетов $200 - 14 = 186$ , поэтому $P(\bar A) = \frac{186}{200} = 0{,}93$ .
3.Через формулу: $1 - \frac{14}{200} = 1 - 0{,}07 = 0{,}93$ .

Ответ: $0{,}93$

Дана вероятность события

Если чисел исходов нет, а дана вероятность $P(A)$ , то $P(\bar A) = 1 - P(A)$ . Точно сформулируйте $\bar A$ : противоположное к «ниже $36{,}8^\circ$ » — « $36{,}8^\circ$ или выше». Граница попадает ровно в одно из двух событий.

Пример

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем $36{,}8^\circ C$ , равна 0,83. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36{,}8^\circ C$ или выше.

1. $A$ — температура ниже $36{,}8^\circ C$ , $P(A) = 0{,}83$ .
2.« $36{,}8^\circ C$ или выше» — все остальные случаи, это $\bar A$ .
3. $P(\bar A) = 1 - 0{,}83 = 0{,}17$ .

Ответ: $0{,}17$

Когда «не» проще посчитать

Переходите к $\bar A$ , если его исходов меньше или их проще найти. «Начнёт не Ксюша» — это 7 участников из 8, а «начнёт Ксюша» — один. «Девочки не сидят рядом» — все свободные стулья, кроме двух соседних (круглый стол).

Пример

Серёжа, Саша, Ира, Соня, Женя, Толя, Ксюша и Федя бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Ксюша.

1.Участников 8, жребий равновозможно выбирает любого. Ксюша начнёт с вероятностью $\frac{1}{8}$ .
2.Не Ксюша: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875$ .

Ответ: $0{,}875$

Хотя бы один раз

Противоположное к «хотя бы раз» — «ни разу». При независимых попытках вероятность «ни разу» — произведение вероятностей неудач (ни одно не наступит). Весь метод — в теме «Хотя бы один».

Пример

Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?

1.Стрелок поразит мишень не более чем за 3 выстрела, если попадёт хотя бы раз из трёх. Противоположное событие — три промаха подряд.
2.Промах: $1 - 0{,}3 = 0{,}7$ . Три промаха: $0{,}7^3 = 0{,}343$ .
3. $P = 1 - 0{,}343 = 0{,}657$ .

Ответ: $0{,}657$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать