тема 6 из 8

Монеты и игральные кости

При бросках монеты или кости исход — набор результатов по порядку: что выпало в первый раз, что во второй. У $n$ бросков монеты $2^n$ равновозможных исходов, у двух костей — $6 \cdot 6 = 36$ . Выпишите все исходы деревом или таблицей, отметьте благоприятные и разделите их число на число всех.

Основа для задания5Реже в задании4На карте навыков

Монеты и игральные кости: перебор исходов
—В аналитике

Считайте наборы по порядку

Монета даёт 2 исхода, кость — 6. При нескольких бросках исход — набор результатов по порядку, и все наборы равновозможны. По правилу умножения наборов $2^n$ для $n$ бросков монеты и $6^k$ для $k$ бросков кости.

Найдите число всех наборов $n$ .
Выпишите благоприятные наборы: для монеты — по дереву, для двух костей — по таблице $6 \times 6$ .
Наборы ОР и РО — разные исходы.
$P = \frac{m}{n}$ (классическое определение).

Монета: вероятность по дереву бросков

Монету бросают трижды. Какова вероятность, что орёл выпадет не более 1 раза?

О — орёл, Р — решкаподходит событию

Бросков

3

Орлов

1

Подходят

4

ветки из

2^{3} = 8

\text{ОРР}, \; \text{РОР}, \; \text{РРО}, \; \text{РРР}

P = \frac{4}{8} = 0{,}5

Ветки равновозможны: у каждой вероятность

\frac{1}{8}

. Поэтому

P

— доля подходящих веток.

Каждая ветка — один набор бросков, все ветки равновозможны. Задайте число бросков и событие: сколько раз выпадет орёл.

Монета: исходы по дереву

Каждый бросок удваивает число исходов: у двух бросков их 4, у трёх — 8, у четырёх — 16. Выписывайте их по дереву: сначала наборы с орлом в первом броске, потом с решкой. Так ни один набор не потеряется.

Событие «ровно один раз», «не более одного раза», «ни разу» — это часть веток. Посчитайте их и разделите на $2^n$ . Одна ветка имеет вероятность $\frac{1}{2^n}$ : «решка все три раза» — $\frac{1}{8} = 0{,}125$ . Жребий перед каждым матчем — тот же бросок монеты, поэтому «начнёт только вторую игру из трёх» — тоже одна ветка из 8.

Пример

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

1.Каждый матч — бросок монеты: начинает «Сапфир» (С) или соперник (Д). Исходов $2^3 = 8$ .
2.Не более одного раза — ноль раз или один раз: ДДД, СДД, ДСД, ДДС. Значит, $m = 4$ .
3. $P = \frac{4}{8} = 0{,}5$ .

Ответ: $0{,}5$

Две кости: вероятность суммы очков

Какова вероятность, что сумма очков на двух костях равна 7?

Сумма

7

Подходят

6

клеток из

36

(1;\,6), \; (2;\,5), \; (3;\,4), \; (4;\,3), \; (5;\,2), \; (6;\,1)

P = \frac{6}{36} \approx 0{,}17

Сумма

7

— самая частая: её дают

6

клеток. Пары

(a;\,b)

(b;\,a)

— разные исходы, ведь кости разные.

Строка — очки первой кости, столбец — очки второй, в клетке — сумма. Все 36 клеток равновозможны. Двигайте ползунок «Сумма» или нажмите на клетку.

Две кости: сумма очков

Исход — пара (очки первой кости; очки второй). Пар $6 \cdot 6 = 36$ , все равновозможны. Сумма 7 получается шестью парами, а сумма 2 — одной. Поэтому суммы от 2 до 12 неравновозможны, и брать их за исходы нельзя.

Пары с одной суммой лежат на одной диагонали таблицы. Пары $(2;\,5)$ и $(5;\,2)$ — разные исходы, а дубль $(3;\,3)$ — один. Ответ почти всегда округляют до сотых.

Пример

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.

1.Всех исходов $6 \cdot 6 = 36$ .
2.Сумма 11: $(5;\,6)$ и $(6;\,5)$ , поэтому $m = 2$ .
3. $P = \frac{2}{36} = 0{,}0555\ldots \approx 0{,}06$ .

Ответ: $0{,}06$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать