тема 7 из 8

Вложенные события

Если одно событие лежит внутри другого, вероятность «большего, но не меньшего» равна разности их вероятностей. «Прослужит больше двух лет» лежит внутри «прослужит больше года», поэтому $P(1 < X \le 2) = P(X > 1) - P(X > 2)$ . Из большей вероятности вычитают меньшую, вероятности не перемножают.

Основа для задания5Реже в задании4На карте навыков

Вычитание вероятностей вложенных событий
—В аналитике

Из широкого события вычтите вложенное

Событие $B$ лежит внутри события $A$ , если при $B$ всегда наступает и $A$ . Тогда $A$ делится на два несовместных события: $B$ и « $A$ , но не $B$ ». Поэтому $P(A) = P(B) + P(A \text{ без } B)$ , то есть $P(A \text{ без } B) = P(A) - P(B)$ .

Для величины $X$ и чисел $a < b$ : $P(a < X \le b) = P(X > a) - P(X > b)$ .
Широкое событие — с более мягким условием. «Больше года» шире, чем «больше двух лет», и его вероятность больше.
Ответ — разность: из большей вероятности вычтите меньшую.
Вероятности не перемножают: одно событие лежит внутри другого, они не независимы.

Ответ — остаток широкого события без вложенного

Какова вероятность, что прибор прослужит больше 1 года, но не больше 2 лет?

ответ:

1 < X \le 2

, где

X

— срок службы в годах

Вероятность

p_1 = P(X > 1)

0{,}9

Вероятность

p_2 = P(X > 2)

0{,}65

P(1 < X \le 2) = p_1 - p_2

p_1 - p_2 = 0{,}9 - 0{,}65 = 0{,}25

«Больше 2 лет» лежит внутри «больше 1 года». Оранжевый остаток между ними — ответ:

0{,}25

Полоса длины 1 — все исходы. Скобка сверху — широкое событие, скобка снизу — вложенное в него. Двигайте ползунки и меняйте пример.

Больше одного срока, но меньше другого

Срок службы — величина $X$ в годах. «Больше 1 года» — все сроки правее 1, «больше 2 лет» — правее 2, и второе событие лежит внутри первого. Между ними остаётся промежуток $1 < X \le 2$ , поэтому $P(1 < X \le 2) = P(X > 1) - P(X > 2)$ .

«Меньше двух лет, но больше года» и «больше года, но не больше двух» дают одну и ту же разность. Срок ровно 2 года — одна точка, её вероятность для срока службы считают нулевой.

Пример

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

1.Событие «больше двух лет» лежит внутри события «больше года».
2.«Больше года» «больше двух лет» или «от года до двух лет», и эти события несовместны: $0,93 0,81 + P$.
3. $P = 0{,}93 - 0{,}81 = 0{,}12$ .

Ответ: $0{,}12$

Ровно столько-то задач

Число решённых задач — целое. Поэтому «больше 7» значит «8 или больше», а «больше 8» — «9 или больше». Разность этих событий — ровно 8 задач: $P(X = 8) = P(X > 7) - P(X > 8)$ .

Условие часто называет сначала меньшую вероятность. Вычитайте из события с меньшей границей: оно шире, и его вероятность больше.

Пример

Вероятность того, что на тестировании учащийся верно решит больше 8 задач, равна 0,65. Вероятность того, что он верно решит больше 7 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно 8 задач.

1.«Больше 7» — это 8, 9, 10, … задач. «Больше 8» — это 9, 10, … задач, оно лежит внутри.
2.Разность — ровно 8 задач: $P = 0{,}79 - 0{,}65 = 0{,}14$ .

Ответ: $0{,}14$

Обе границы через «меньше»

Если условие говорит «меньше 20» и «меньше 15», вложение обратное: «меньше 15» лежит внутри «меньше 20». Разность — числа от 15 до 19 включительно: $P(15 \le X \le 19) = P(X < 20) - P(X < 15)$ .

Граница 15 входит в ответ, потому что «меньше 15» её не содержит. Граница 20 не входит: её не содержит и «меньше 20».

Пример

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,92. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,47. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24 включительно.

1.«Меньше 18» лежит внутри «меньше 25».
2.Разность — от 18 до 24 пассажиров включительно.
3. $P = 0{,}92 - 0{,}47 = 0{,}45$ .

Ответ: $0{,}45$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать