Подобие треугольников

Для подобия достаточно двух пар равных углов: третьи углы тогда тоже равны, потому что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Два других признака: две стороны пропорциональны и углы между ними равны; три стороны пропорциональны.

Если $DE \parallel AB$, то $\angle CDE = \angle CAB$ и $\angle CED = \angle CBA$ как соответственные углы, а угол $C$ общий. Поэтому треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CAB$, и $\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}$. Как доказывать подобие в задачах с доказательством — в теме доказательство подобия.

Коэффициент $k$ — отношение сходственных сторон, то есть сторон, которые лежат против равных углов. Сначала выпишите пары равных углов, потом пары сторон против них. Стороны, которые не соответствуют друг другу, делить нельзя: порядок букв в условии может быть другим.

Периметры, высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников тоже относятся как $k$.

Если треугольники подобны с коэффициентом $k$, то $\frac{S_1}{S} = k^2$: сторона и высота к ней умножаются на $k$, а площадь — их произведение. При $k = \frac12$ площадь уменьшается в 4 раза, а не в 2.

Отрезок $DE \parallel AB$ делит треугольник $ABC$ на треугольник $CDE$ и трапецию $ABED$. Площадь трапеции — остаток: $S_{ABED} = S_{ABC} - k^2 S_{ABC}$. Обратно, по отношению площадей $k = \sqrt{S_1 : S}$.

Для подобных тел (два куба, два конуса одной формы) длины относятся как $k$, площади поверхностей — как $k^2$, объёмы — как $k^3$. Правила и задачи — в теме подобные тела.