тема 1 из 14

Сумма углов треугольника

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ . Поэтому третий угол равен $180^\circ$ минус два известных, а острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$ . Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним. Смежные углы дают $180^\circ$ , вертикальные углы равны, а при параллельных прямых равны накрест лежащие и соответственные углы.

Основа для задания1Реже в задании18На карте навыков

Сумма углов треугольника и внешний угол
—В аналитике

Сумма углов треугольника равна 180°

В любом треугольнике $ABC$ : $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ . Чтобы найти угол, выберите треугольник, в котором известны два других угла.

Третий угол: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ .
В прямоугольном треугольнике острые углы дают $90^\circ$ : $\angle A + \angle B = 90^\circ$ .
Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Смежные углы дают в сумме $180^\circ$ , вертикальные углы равны.
При параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние дают $180^\circ$ .
Против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны — больший угол.
Сумма углов выпуклого $n$ -угольника равна $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , у четырёхугольника — $360^\circ$ .

Углы меняются, сумма остаётся 180°

\angle A + \angle B + \angle C = 58^\circ + 36^\circ + 86^\circ = 180^\circ

Пунктирная прямая проходит через

C

параллельно

AB

. Накрест лежащие углы при ней равны углам

A

B

, а вместе с углом

C

они составляют развёрнутый угол. Двигайте вершины.

Третий угол треугольника

Если известны два угла треугольника, третий равен $180^\circ$ минус их сумма. Так же находят угол в маленьком треугольнике, который отсекают биссектриса, высота или медиана: сначала найдите в нём два угла.

Пример

В треугольнике $ABC$ $\angle A = 48^\circ$ , $\angle B = 67^\circ$ . Найдите угол $C$ . Ответ дайте в градусах.

Два угла известны, третий дополняет их до

180^\circ

1. $\angle C = 180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ$ .

Ответ: $65$

Острые углы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$ . На два острых угла остаётся $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ : $\angle A + \angle B = 90^\circ$ . Острый угол равен $90^\circ$ минус другой острый угол. Если вычесть из $180^\circ$ , получится тупой угол, а тупого угла у прямоугольного треугольника нет.

Пример

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle A = 34^\circ$ . Найдите угол $B$ . Ответ дайте в градусах.

Острые углы прямоугольного треугольника дают

90^\circ

1. $\angle B = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$ .

Ответ: $56$

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — угол, смежный с его углом: сторону продолжают за вершину. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$ .

Он же равен сумме двух других углов треугольника: $\angle CBD = \angle A + \angle C$ . Обе величины равны $180^\circ - \angle B$ . Сумму удобно брать, когда угол $B$ не дан.

Пример

В треугольнике $ABC$ $\angle A = 40^\circ$ , $\angle C = 75^\circ$ . Точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ . Найдите внешний угол $CBD$ . Ответ дайте в градусах.

Внешний угол при вершине

B

смежен с углом

B

1. $\angle CBD = \angle A + \angle C = 40^\circ + 75^\circ = 115^\circ$ .

Ответ: $115$

Больший угол и большая сторона

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Обратно: против большей стороны лежит больший угол. Против равных углов лежат равные стороны. Поэтому наибольшая сторона лежит против наибольшего угла, а в прямоугольном или тупоугольном треугольнике — против прямого или тупого угла.

Так находят, где лежит основание высоты. Если углы $B$ и $C$ острые, основание $H$ высоты $AH$ лежит на стороне $BC$ . Если $\angle B > \angle C$ , то $AC > AB$ , и по теореме Пифагора $BH^2 = AB^2 - AH^2 < AC^2 - AH^2 = CH^2$ . Основание высоты ближе к вершине большего угла.

Пример

В треугольнике $ABC$ $\angle B = 70^\circ$ , $\angle C = 40^\circ$ , $AH$ — высота, $M$ — середина стороны $BC$ . Докажите, что точка $H$ лежит между точками $B$ и $M$ .

Против большего угла

B

лежит большая сторона

AC

1.Углы $B$ и $C$ острые. Если бы $H$ лежала на продолжении $BC$ за точку $B$ , угол $ABC$ был бы смежным с острым углом $ABH$ прямоугольного треугольника $ABH$ , то есть тупым. Так же для точки $C$ . Значит, $H$ лежит на отрезке $BC$ .
2. $\angle B > \angle C$ , поэтому против большего угла $B$ лежит большая сторона: $AC > AB$ .
3.По теореме Пифагора в треугольниках $ABH$ и $ACH$ : $BH^2 = AB^2 - AH^2 < AC^2 - AH^2 = CH^2$ , поэтому $BH < CH$ .
4. $BH + CH = BC$ , значит, $BH < \frac{BC}{2} = BM$ . Точка $H$ лежит между $B$ и $M$ .

Смежные и вертикальные углы

У смежных углов одна сторона общая, а две другие продолжают друг друга. Сумма смежных углов равна $180^\circ$ .

Две пересекающиеся прямые дают две пары вертикальных углов: стороны одного угла продолжают стороны другого. Вертикальные углы равны.

Пример

Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ , $\angle AOD = 130^\circ$ . Найдите углы $BOC$ и $AOB$ .

Углы

AOD

BOC

вертикальные, углы

AOD

AOB

смежные.

1. $\angle BOC$ и $\angle AOD$ вертикальные: $\angle BOC = 130^\circ$ .
2. $\angle AOB$ и $\angle AOD$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ .

Ответ: $\angle BOC = 130^\circ$ , $\angle AOB = 50^\circ$

Углы при параллельных прямых

Секущая пересекает две параллельные прямые. Накрест лежащие углы лежат между прямыми по разные стороны от секущей — они равны. Соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, один между прямыми, другой снаружи — они равны. Односторонние углы лежат между прямыми по одну сторону от секущей — их сумма равна $180^\circ$ .

Параллельные стороны есть у параллелограмма, ромба и трапеции. Секущей служит их сторона или диагональ.

Пример

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, $\angle BAC = 45^\circ$ , $\angle CAD = 25^\circ$ . Найдите углы $ABC$ и $BCA$ .

Диагональ

AC

— секущая для параллельных прямых

BC

AD

1. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 45^\circ + 25^\circ = 70^\circ$ .
2.Прямые $BC$ и $AD$ , секущая $AB$ : углы $ABC$ и $BAD$ односторонние, $\angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .
3.Секущая $AC$ : углы $BCA$ и $CAD$ накрест лежащие, $\angle BCA = \angle CAD = 25^\circ$ .

Ответ: $\angle ABC = 110^\circ$ , $\angle BCA = 25^\circ$

Сумма углов четырёхугольника

Диагонали из одной вершины делят выпуклый $n$ -угольник на $n - 2$ треугольника. Поэтому сумма его углов равна $(n - 2) \cdot 180^\circ$ . Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника, и сумма его углов равна $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .

Пример

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $\angle A = 80^\circ$ , $\angle B = 95^\circ$ , $\angle C = 110^\circ$ . Найдите угол $D$ . Ответ дайте в градусах.

Диагональ

BD

делит четырёхугольник на два треугольника.

1. $\angle D = 360^\circ - 80^\circ - 95^\circ - 110^\circ = 75^\circ$ .

Ответ: $75$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать