Средняя линия треугольника и трапеции

Если $D$ — середина $AC$, а $E$ — середина $BC$, то $DE \parallel AB$ и $DE = \frac12 AB$. Обратно: сторона вдвое длиннее средней линии, которая ей параллельна.

Три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника. Стороны каждого вдвое меньше сторон исходного, поэтому периметр треугольника из средних линий — половина периметра.

Средняя линия $DE \parallel AB$ отсекает треугольник $CDE$. Вместе с двумя другими средними линиями она делит треугольник $ABC$ на четыре равных треугольника. Поэтому $S_{CDE} = \frac14 S_{ABC}$, а трапеция $ABED$ из трёх таких треугольников — $S_{ABED} = \frac34 S_{ABC}$.

Это подобие с коэффициентом $\frac12$: площади относятся как $k^2$. Правило верно для средней линии у любой вершины. Если дана площадь маленького треугольника, площадь большого в 4 раза больше.

Если $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, то $MN \parallel AD$ и $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Отсюда другое основание: $BC = 2MN - AD$. Площадь трапеции — средняя линия, умноженная на высоту (площадь трапеции).

Если в трапецию вписана окружность, её средняя линия равна ещё и полусумме боковых сторон (трапеция, описанная около окружности).

Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$ и пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. Отрезок $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$, а $KN$ — средняя линия треугольника $ACD$. Поэтому $MK = \frac{BC}{2}$ и $KN = \frac{AD}{2}$.

Больший отрезок — половина большего основания, меньший — половина меньшего.