Биссектриса, медиана и высота

Если дан угол, который отсекает биссектриса $AD$, весь угол вдвое больше: $\angle A = 2\angle BAD$. Третий угол треугольника $ABC$ находят по сумме углов.

Угол $ADB$ — внешний угол треугольника $ADC$: $\angle ADB = \angle CAD + \angle C$.

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть $M$ лежит на биссектрисе угла $A$, $MH$ и $MQ$ — перпендикуляры к сторонам. Прямоугольные треугольники $AMH$ и $AMQ$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MH = MQ$.

Обратно: точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Так доказывают, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.

Биссектриса $AK$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC}$. Отрезок $BK$ прилежит к стороне $AB$, отрезок $KC$ — к стороне $AC$.

Причина — площади. У треугольников $ABK$ и $ACK$ общая высота из вершины $A$, поэтому их площади относятся как $BK : KC$ (общая высота). Те же площади равны $\frac12 AB \cdot AK \sin\varphi$ и $\frac12 AC \cdot AK \sin\varphi$, где $\varphi$ — половина угла $A$. Поэтому они относятся как $AB : AC$.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = AM = MB$. Точка $M$ — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Медиану произвольного треугольника находят по формуле через стороны.

Поэтому медиана делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Углы при основании равны: $\angle MCA = \angle A$, $\angle MCB = \angle B$.

Верно и обратное: если медиана $CM$ равна половине стороны $AB$, то угол $C$ прямой. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $M$ и диаметром $AB$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке $G$, и она делит каждую медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины: $AG : GA_1 = 2 : 1$.

Доказательство для двух медиан $AA_1$ и $BB_1$. Отрезок $A_1B_1$ — средняя линия: $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$. Треугольники $GA_1B_1$ и $GAB$ подобны по двум углам с коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому $GA_1 = \frac{1}{2}AG$ и $GB_1 = \frac{1}{2}BG$.

В параллелограмме диагональ $BD$ содержит медиану $BO$ треугольника $ABC$: прямая из $A$ в середину $BC$ отсекает от $BD$ треть.

Высота $CH$ делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В треугольнике $BCH$ острые углы дают $90^\circ$: $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$.

Если угол $C$ треугольника прямой, то $\angle BCH = \angle A$ и $\angle ACH = \angle B$: оба угла равны $90^\circ$ минус один и тот же угол.

Длину высоты к другой стороне находят через площадь: высоты к двум сторонам.

Из вершины прямого угла $C$ отсчитывайте углы от катета $CB$. Высота: $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$. Биссектриса: $\angle BCD = 45^\circ$. Медиана: $\angle BCM = \angle B$, потому что $CM = MB$. Угол между двумя отрезками равен разности их углов с катетом $CB$.

Поэтому угол между высотой и биссектрисой равен углу между биссектрисой и медианой: $|45^\circ - \angle B|$. Угол между высотой и медианой вдвое больше и равен разности острых углов. Если дан угол $\varphi$ между биссектрисой и медианой, то острые углы равны $45^\circ - \varphi$ и $45^\circ + \varphi$.

Биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. В треугольнике $AOB$ углы при стороне $AB$ — половины углов $A$ и $B$. Их сумма $\frac{\angle A + \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \angle C}{2}$, поэтому $\angle AOB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$. Углы $A$ и $B$ по отдельности знать не нужно.

Высоты $BD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. В остроугольном треугольнике точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$. В четырёхугольнике $ADOE$ углы $D$ и $E$ прямые, а сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. Поэтому $\angle DOE = 180^\circ - \angle A$.