Параллелограмм и ромб

Стороны $BC$ и $AD$ параллельны, $AB$ — секущая. Углы $A$ и $B$ — односторонние, поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (углы при параллельных прямых). Так же $\angle B + \angle C = 180^\circ$, отсюда $\angle A = \angle C$.

Один угол задаёт все четыре: противоположный угол равен ему, а два других дополняют его до $180^\circ$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и $AO = OC$, $BO = OD$. Длины диагоналей обычно разные.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому каждый из них — половина площади.

Ромб — параллелограмм с равными сторонами, поэтому у него есть все свойства параллелограмма. Кроме того, его диагонали перпендикулярны, и каждая диагональ делит пополам углы при своих концах: $\angle BAC = \angle CAD = \frac12 \angle A$.

Угол между стороной и диагональю — половина угла ромба. Чтобы его найти, сначала найдите нужный угол ромба через $180^\circ$, потом разделите на 2.

Обратная задача: дан угол между стороной и диагональю, нужен угол ромба. Удвойте данный угол: получится угол ромба при той же вершине. Остальные углы найдите через $180^\circ$.

Тот же угол можно найти из равнобедренного треугольника, который диагональ отсекает от ромба (диагональ ромба).

Пусть биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $L$. Углы $CBL$ и $ALB$ — накрест лежащие при $BC \parallel AD$, поэтому они равны. Значит, $\angle ABL = \angle ALB$, и треугольник $ABL$ равнобедренный: $AL = AB$.

Так по отрезкам $AL$ и $LD$ находят обе стороны: $AB = AL$, $AD = AL + LD$. Если дано отношение $AL : LD$, обозначьте части через $x$ и составьте уравнение по периметру.

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами. Его диагонали равны, и диагональ находят по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$.

Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, и он же ромб. Его диагонали равны, перпендикулярны и делят углы на $45^\circ$. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt2$, а сторона равна $\frac{d}{\sqrt2}$.

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны — основания, две другие — боковые стороны. Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$: это односторонние углы при параллельных основаниях.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при каждом основании равны, и диагонали равны.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведите через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Она пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Четырёхугольник $BCED$ — параллелограмм, поэтому $DE = BC$ и $CE = BD$.

Стороны треугольника $ACE$ — обе диагонали трапеции и сумма оснований: $AE = AD + BC$. Угол $ACE$ равен углу между диагоналями. Высота треугольника из вершины $C$ — высота трапеции, и площади равны: $S_{ACE} = S_{ABCD}$, потому что у треугольников $ABC$ и $DCE$ равные основания $BC = DE$ и равные высоты.