тема 12 из 14

Касательная к окружности

Касательная — прямая, у которой с окружностью одна общая точка. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому центр, точка касания и любая точка касательной дают прямоугольный треугольник. Отрезки двух касательных из одной точки равны, а угол между этими касательными дополняет центральный угол до $180^\circ$ .

Реже в заданиях1 18На карте навыков

Касательная к окружности и её свойства
—В аналитике

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной

Прямая $CA$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ . Тогда $OA \perp CA$ , то есть $\angle OAC = 90^\circ$ .

Проведите радиус в точку касания и отметьте прямой угол.
В прямоугольном треугольнике $OAC$ сумма острых углов равна $90^\circ$ : $\angle AOC + \angle ACO = 90^\circ$ (сумма углов треугольника).
Угол $AOC$ — центральный: он равен дуге от точки касания до точки, где отрезок $OC$ пересекает окружность.
Отрезки касательных из одной точки равны: $CA = CB$ .

Угол между касательной и прямой через центр

Сторона $CA$ угла $ACO$ касается окружности в точке $A$ , а отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ . Дуга $AB$ внутри угла равна центральному углу $AOB$ . Из прямоугольного треугольника $OAC$ : ${\smile}AB = 90^\circ - \angle ACO$ .

Так же по дуге находят угол: $\angle ACO = 90^\circ - {\smile}AB$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Угол $ACO$ равен $57^{\circ} .$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O .$ Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ

Пояснение

$CA$ — касательная, $OA$ — радиус в точку касания: $\angle OAC = 90^\circ$ .
В треугольнике $OAC$ : $\angle AOC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$ .
Дуга $AB$ равна центральному углу $AOB$ : $33^\circ$ . Ответ: 33.

Две касательные из одной точки

\angle ACB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ

\angle ACO = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ

\angle AOB = {\smile}AB = 100^\circ

, поэтому

\angle ACB = 180^\circ - 100^\circ

. Прямая

CO

делит оба угла пополам:

\angle AOC = 50^\circ

Из точки

C

проведены две касательные к окружности. Радиусы в точки касания перпендикулярны касательным. Двигайте точку

C

Отрезки двух касательных равны

Из точки $C$ вне окружности проведены касательные $CA$ и $CB$ . Прямоугольные треугольники $OAC$ и $OBC$ имеют общую гипотенузу $OC$ и равные катеты $OA = OB$ . Поэтому $CA = CB$ , а $CO$ — биссектриса угла $ACB$ .

В четырёхугольнике $OACB$ углы $A$ и $B$ прямые. Сумма углов четырёхугольника $360^\circ$ , поэтому $\angle ACB = 180^\circ - \angle AOB$ . Центральный угол $AOB$ равен меньшей дуге $AB$ .

Пример

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ . Меньшая дуга $AB$ равна $84^\circ$ . Найдите угол $ACB$ .

В четырёхугольнике

OACB

два прямых угла,

CA = CB

1.Центральный угол равен своей дуге: $\angle AOB = 84^\circ$ .
2.Радиусы в точки касания перпендикулярны касательным: $\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$ .
3. $\angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 84^\circ = 96^\circ$ .

Ответ: $96$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать