Равнобедренный треугольник

Сначала найдите основание: оно лежит против вершины, где сходятся равные стороны. При $AB = BC$ основание — $AC$, а равны углы $A$ и $C$, а не $A$ и $B$.

Если дан угол при основании, угол при вершине равен $180^\circ - 2\angle A$. Если дан угол при вершине, угол при основании равен $\frac{180^\circ - \angle B}{2}$.

Пусть $AC = BC$, основание $AB$. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, и $CBD$ — внешний угол при вершине $B$. Он смежен с углом $B$: $\angle B = 180^\circ - \angle CBD$. Угол $A$ равен углу $B$, поэтому $\angle C = 180^\circ - 2\angle B$.

Если дан угол при вершине $C$, сначала найдите угол при основании $\angle B = \frac{180^\circ - \angle C}{2}$, потом внешний угол $180^\circ - \angle B$. Проверка: внешний угол равен $\angle A + \angle C$.

Высота, проведённая к основанию, — также медиана и биссектриса. Она делит основание пополам и угол при вершине пополам. Высота разрезает треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

В каждом из них гипотенуза — боковая сторона, катеты — высота и половина основания. Дальше работают теорема Пифагора и синус и косинус.

В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы по $60^\circ$. Каждая высота — также медиана и биссектриса. Высота равна $h = a\sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона. Обратно: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.

Радиусы одной окружности равны. Поэтому треугольник с вершиной в центре $O$ и двумя вершинами на окружности равнобедренный: при $OB = OC$ $\angle OBC = \angle OCB$.

Два диаметра $AC$ и $BD$ дают вертикальные углы $\angle AOD = \angle BOC$. Поэтому $\angle ACB = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2}$, а в обратной задаче $\angle AOD = 180^\circ - 2\angle ACB$. Ту же задачу решает вписанный угол.

Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ — прямая, которая перпендикулярна $AB$ и проходит через его середину. Точка $M$ равноудалена от концов отрезка ($MA = MB$) тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре. Причина: в равнобедренном треугольнике $AMB$ высота к основанию — это и медиана.

Для окружности: перпендикуляр из центра $O$ к хорде $AB$ делит её пополам, потому что $OA = OB$. Обратно, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр.

У ромба все стороны равны. Диагональ $BD$ отсекает равнобедренный треугольник $ABD$: $AB = AD$, поэтому $\angle ABD = \angle ADB$. Угол ромба при вершине $A$ равен $180^\circ - 2\angle ABD$, а противолежащий угол $C$ равен углу $A$ (противоположные углы параллелограмма).