тема 18 из 26

Равенство треугольников

Треугольники равны, если три пары их элементов равны по одному из признаков: две стороны и угол между ними, сторона и два прилежащих угла, три стороны. Прямоугольным треугольникам хватает двух пар, например гипотенузы и катета. В равных треугольниках равны все соответствующие стороны и углы. Поэтому равенство треугольников переносит известное равенство на нужный отрезок или угол.

Реже в задании18На карте навыков

Равенство треугольников
—В аналитике

Признаки равенства треугольников

Найдите два треугольника, в которых лежат нужные отрезки или углы, и докажите их равенство по признаку.

По двум сторонам и углу между ними.
По стороне и двум прилежащим к ней углам.
По трём сторонам.
Прямоугольные треугольники: по двум катетам; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.
Две стороны и угол не между ними — не признак. Исключение — прямоугольные треугольники: гипотенуза и катет.
Метод: запишите три равенства с причиной каждого и назовите признак. Затем выведите нужное: против равных углов лежат равные стороны.

Три признака равенства

Признак требует три пары равных элементов в определённом порядке. По двум сторонам и углу между ними: угол стоит между этими сторонами. По стороне и двум углам: углы прилежат к этой стороне; если дан противолежащий угол, третий угол находят по сумме углов. По трём сторонам углы не нужны.

Равные элементы берите из условия и из фигуры: общая сторона, вертикальные углы, середина отрезка, стороны равнобедренного треугольника и параллелограмма, равные хорды и вписанные углы на равных дугах. После равенства треугольников равны и остальные элементы: стороны против равных углов и углы против равных сторон.

Две стороны и угол не между ними

\angle A

40^\circ

BC

4{,}5

Два разных треугольника:

AC_1 \approx 2{,}28

AC_2 \approx 6{,}91

Даны угол

A

, сторона

AB = 6

и сторона

BC

напротив угла

A

. Вершина

C

лежит на луче и на окружности с центром

B

и радиусом

BC

. Меняйте угол

A

и длину

BC

\triangle ABC = \triangle CDE

по двум сторонам и углу между ними.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3 , BC = DE = 4 .$
а) Докажите, что $AC = CE .$
б) Найдите длину диагонали $BE ,$ если $AD = 6 .$

Решение

а) Равные хорды стягивают равные дуги: дуги $AB$ и $CD$ равны, дуги $BC$ и $DE$ равны.
Вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AEDC$ , угол $CDE$ — на дугу $CBAE$ . Дуги состоят из равных частей: $AE + ED + DC = AE + BC + AB$ . Значит, $\angle ABC = \angle CDE$ .
Треугольники $ABC$ и $CDE$ : $AB = CD$ , $BC = DE$ , $\angle ABC = \angle CDE$ . Они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AC = CE$ .
б) Вписанные углы $ACB$ и $CAD$ опираются на равные дуги $AB$ и $CD$ , поэтому равны. Это накрест лежащие углы, значит, $BC \parallel AD$ , и $ABCD$ — равнобедренная трапеция.
Высоты из $B$ и $C$ отсекают от $AD$ отрезки $\frac{6 - 4}{2} = 1$ . Квадрат высоты $h^2 = 3^2 - 1^2 = 8$ , диагональ $AC^2 = (6 - 1)^2 + 8 = 33$ .
Так же дуги $BC$ и $DE$ равны, поэтому $CD \parallel BE$ , и $BCDE$ — равнобедренная трапеция с основаниями $CD = 3$ , $BE = x$ и боковыми сторонами 4. Её диагональ $BD$ равна диагонали $AC$ трапеции $ABCD$ : диагонали равнобедренной трапеции равны, $BD^2 = 33$ .
Боковая сторона проектируется на $BE$ в отрезок $\frac{x - 3}{2}$ , диагональ $BD$ — в отрезок $\frac{x + 3}{2}$ . Квадрат высоты: $16 - \left(\frac{x - 3}{2}\right)^2 = 33 - \left(\frac{x + 3}{2}\right)^2$ , откуда $3x = 17$ . Ответ: б) $\frac{17}{3}$ .

Прямоугольные треугольники: гипотенуза и катет

У прямоугольных треугольников одна пара равных углов уже есть — прямые углы. Поэтому им хватает двух пар элементов: двух катетов; катета и острого угла; гипотенузы и острого угла; гипотенузы и катета.

В признаке по гипотенузе и катету прямой угол лежит не между данными сторонами, но равенство верно: второй катет однозначно находится по теореме Пифагора. В общем случае две стороны и угол против меньшей из них могут дать два разных треугольника. В трапеции так сравнивают треугольники, которые отсекают высоты: высоты равны как расстояния между параллельными основаниями.

\triangle ABH_1 = \triangle DCH

по гипотенузе и катету;

BCDH

— параллелограмм.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC .$
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD ,$ если $AD = 15$ и $AC = 2 \sqrt{61} .$

Решение

а) Проведём высоты $BH_1$ и $CH$ . Прямоугольные треугольники $ABH_1$ и $DCH$ : $AB = DC$ , так как трапеция равнобедренная; $BH_1 = CH$ как расстояния между параллельными основаниями. Они равны по гипотенузе и катету, поэтому $AH_1 = HD$ .
$H_1BCH$ — прямоугольник, $H_1H = BC$ . Тогда $AD = 2HD + BC$ . Из $AD = 3BC$ получаем $HD = BC$ и $AH = AD - HD = 2BC = 2HD$ .
б) $AD = 15$ : $BC = HD = 5$ , $AH = 10$ . Из прямоугольного треугольника $ACH$ : $CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{244 - 100} = 12$ .
$BC \parallel HD$ и $BC = HD$ , поэтому $BCDH$ — параллелограмм. Его диагонали делятся пополам: середина $P$ диагонали $BD$ — середина $CH$ .
$CP = \frac12 CH = 6$ . Ответ: б) 6.

Как записать доказательство равенства

Запись идёт по шагам: «Рассмотрим треугольники $MDC$ и $MAT$ », затем три равенства, у каждого — причина, затем признак и вывод. Порядок букв в записи $\triangle MDC = \triangle MAT$ показывает соответствие вершин: $D \to A$ , $C \to T$ , поэтому $DC = AT$ . Равенство без причины эксперт не засчитывает.

Если нужной пары треугольников на рисунке нет, её строят: продлевают отрезок до пересечения с прямой, проводят высоту или среднюю линию. В задаче ниже продолжение $CM$ даёт треугольник $MAT$ , равный треугольнику $MDC$ , а затем подобие переносит отношение на прямую $BN$ .

\triangle MDC = \triangle MAT

, поэтому

AT = DC

MT = MC

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Дан прямоугольник $ABCD .$ Известно, что $CD = 3 AD .$ Точка $M$   - середина его стороны $AD .$ На стороне $CD$ отмечена точка $N .$ Известно, что $CN = 2 ND .$ Точка $K$   - середина отрезка $CM .$

а)  Докажите, что точки $B , N$ и $K$ лежат на одной прямой.
б)  Найдите $KN ,$ если известно, что $AD = 4 .$

Решение

а) Пусть $AD = a$ , тогда $CD = AB = 3a$ , $ND = a$ , $CN = 2a$ . Продлим $CM$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $T$ .
Рассмотрим треугольники $MDC$ и $MAT$ : $MD = MA$ , так как $M$ — середина $AD$ ; $\angle DMC = \angle AMT$ как вертикальные; $\angle MDC = \angle MAT = 90^\circ$ . Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Отсюда $AT = DC = 3a$ и $MT = MC$ . Тогда $TC = 2MC$ , а $CK = \frac12 MC = \frac14 TC$ .
Пусть прямая $BN$ пересекает $TC$ в точке $X$ . $CN \parallel TB$ , поэтому треугольники $XCN$ и $XTB$ подобны: $\frac{CX}{XT} = \frac{CN}{TB} = \frac{2a}{6a} = \frac13$ , то есть $CX = \frac14 TC = CK$ .
Точки $X$ и $K$ совпадают, значит, $B$ , $N$ и $K$ лежат на одной прямой.
б) Из того же подобия $\frac{KN}{KB} = \frac13$ , то есть $KN = \frac14 BN$ . При $a = 4$ : $BC = 4$ , $CN = 8$ , $BN = \sqrt{16 + 64} = 4\sqrt5$ , $KN = \sqrt5$ . Ответ: б) $\sqrt5$ .

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать