Хорды, секущие и касательные

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Тогда $PA \cdot PB = PC \cdot PD$: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Доказательство. Треугольники $APC$ и $DPB$ подобны по двум углам (признак подобия). Углы $APC$ и $DPB$ вертикальные, а $\angle CAB = \angle CDB$ как вписанные углы на одну дугу $CB$. Из подобия $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$, то есть $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Теорема входит в школьный курс: в решении на неё ссылаются как на известный факт.

Из точки $P$ вне окружности проведены две секущие. Первая пересекает окружность в точках $A$ и $B$, вторая — в точках $C$ и $D$, точки $A$ и $C$ ближе к $P$. Тогда $PA \cdot PB = PC \cdot PD$: вся секущая, умноженная на её внешнюю часть, одна и та же для любой секущей из точки $P$.

Доказательство. Треугольники $PAD$ и $PCB$ подобны: угол $P$ у них общий, а $\angle PDA = \angle PBC$ как вписанные углы на дугу $AC$. Отсюда $\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$. В формуле стоят отрезки от точки $P$: $PB = PA + AB$. Произведение внешней части на хорду $PA \cdot AB$ — ошибка.

Из точки $P$ проведены касательная $PT$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $A$ и $B$, точка $A$ ближе к $P$. Тогда $PT^2 = PA \cdot PB$. Это предельный случай двух секущих: точки второй секущей сливаются в точку касания $T$.

Доказательство. Треугольники $PTA$ и $PBT$ подобны: угол $P$ общий, а угол между касательной и хордой $PTA$ равен вписанному углу $TBA$, оба равны половине дуги $TA$. Отсюда $\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$.