тема 11 из 14

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на ней. Тогда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ : оба угла вписанные, а их дуги вместе составляют всю окружность. Верно и обратное: если сумма двух противоположных углов равна $180^\circ$ , вершины четырёхугольника лежат на одной окружности.

Реже в заданиях1 18На карте навыков

Вписанный четырёхугольник
—В аналитике

Противоположные углы в сумме дают 180°

Если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$ .

Противоположные углы не имеют общей стороны: $A$ и $C$ , $B$ и $D$ .
Причина: углы $A$ и $C$ — вписанные. Их дуги $BCD$ и $BAD$ вместе дают $360^\circ$ , а углы равны половинам дуг.
Обратное тоже верно: если $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , то около $ABCD$ можно описать окружность (признаки вписанного четырёхугольника).
Сумма всех четырёх углов, как у любого выпуклого четырёхугольника, равна $360^\circ$ .

Сумма противоположных углов не меняется

\angle A + \angle C = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ

\angle B + \angle D = 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ

\angle A = \frac{1}{2} {\smile}BCD = 80^\circ

\angle C = \frac{1}{2} {\smile}DAB = 100^\circ

: дуги

BCD

DAB

вместе дают

360^\circ

Вершины четырёхугольника

ABCD

лежат на окружности. Каждый угол равен половине дуги напротив него. Двигайте вершины.

Угол напротив данного

Угол, противоположный данному, равен $180^\circ$ минус данный угол. Соседний угол, с общей стороной, так не найти: его сумма с данным углом может быть любой.

Пример

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $108^\circ$ . Найдите угол $ADC$ .

Углы

B

D

противоположные.

1.Углы $ABC$ и $ADC$ противоположные: их сумма равна $180^\circ$ .
2. $\angle ADC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ .

Ответ: $72$

Два данных угла — соседние

Если даны два угла и их сумма не равна $180^\circ$ , эти углы соседние. Тогда каждый из оставшихся углов противоположен одному из данных: они равны $180^\circ - \alpha$ и $180^\circ - \beta$ . Сравните их и возьмите тот, о котором спрашивают: больший или меньший.

Пример

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $84^\circ$ и $113^\circ$ . Найдите больший из оставшихся углов.

Угол

C

противоположен углу

A

, угол

D

— углу

B

1. $84^\circ + 113^\circ \ne 180^\circ$ , поэтому данные углы соседние.
2.Оставшиеся углы: $180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$ и $180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$ .
3.Больший из них равен $96^\circ$ .

Ответ: $96$

Угол между высотами

Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ . У четырёхугольника $AEOD$ противоположные углы $E$ и $D$ прямые и вместе дают $180^\circ$ . По обратному свойству около него можно описать окружность, поэтому $\angle A + \angle EOD = 180^\circ$ . Тот же ответ даёт сумма углов четырёхугольника.

Вписанная трапеция равнобедренная

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность. Тогда $\angle A + \angle C = 180^\circ$ как противоположные углы вписанного четырёхугольника и $\angle C + \angle D = 180^\circ$ как односторонние углы при $BC \parallel AD$ . Отсюда $\angle A = \angle D$ : трапеция равнобедренная, $AB = CD$ и $AC = BD$ .

Так доказывают равенство отрезков с концами на окружности: две параллельные хорды — основания вписанной трапеции.

Пример

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 10$ и $BC = 4$ вписана в окружность, $AB = 5$ . Найдите высоту трапеции.

Вписанная трапеция равнобедренная:

AB = CD

1.Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.
2.Высота $BH$ отсекает от основания $AD$ отрезок $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$ .
3. $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$ .

Ответ: $4$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать