тема 7 из 26

Равные углы на общей дуге

Два угла равны, если они вписаны в одну окружность и опираются на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу на дугу внутри него. Равные хорды стягивают равные дуги, а две параллельные хорды дают вписанную равнобедренную трапецию. Если окружности нет в условии, её сначала находят по признакам вписанного четырёхугольника.

Часто в задании18На карте навыков

Равные углы на общей дуге
—В аналитике

Два угла равны, если опираются на одну дугу

Чтобы доказать равенство углов или отрезков, найдите окружность, на которой лежат их вершины и концы. Затем найдите дугу, на которую опираются оба угла.

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды (одна дуга).
Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу на дугу внутри этого угла.
Равные хорды одной окружности стягивают равные дуги. На равные дуги опираются равные вписанные углы.
Концы двух параллельных хорд — вершины вписанной трапеции. Она равнобедренная: её боковые стороны равны и диагонали равны.
Если окружности нет в условии, сначала докажите, что четыре точки лежат на одной окружности (признаки).
Каждое равенство в доказательстве пишите с причиной: какая окружность, какая дуга, по одну ли сторону от хорды лежат вершины.

Вписанные углы на одну дугу

Точки $C$ и $D$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AB$ . Тогда $\angle ACB = \angle ADB$ : оба угла равны половине дуги $AB$ , которая не содержит эти точки. Если $C$ и $D$ лежат по разные стороны от $AB$ , то $\angle ACB + \angle ADB = 180^\circ$ . Поэтому в доказательстве проверьте сторону и назовите окружность.

Одна точка может быть вершиной углов двух окружностей. Если угол $ABC$ острый, центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ даёт центральный угол $AOC = 2\angle ABC$ . Если через $A$ , $O$ и $C$ провести вторую окружность, угол $AOC$ станет её вписанным углом. Он равен другим вписанным углам этой окружности на дугу $AC$ .

Углы

APC

AOC

— вписанные углы окружности

(AOC)

на дугу

AC

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Дан остроугольный треугольник $ABC .$ Известно, что $\angle BAC = 2 \angle ABC .$ Точка $O$   - центр описанной окружности треугольника $ABC .$ Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P .$
а)  Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.
б)  Найдите $AB ,$ если $BC = \sqrt{21}$ и $AC = 3 .$

Решение

а) Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому центр $O$ лежит внутри него. Точки $O$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $AC$ — там же, где $B$ .
Углы $APC$ и $AOC$ — вписанные углы окружности, описанной около треугольника $AOC$ , и опираются на дугу $AC$ . Поэтому $\angle APC = \angle AOC$ .
Для описанной окружности треугольника $ABC$ угол $AOC$ центральный, а угол $ABC$ вписанный на ту же дугу $AC$ (центральный и вписанный). $\angle AOC = 2\angle ABC = \angle BAC$ .
У треугольников $ABC$ и $PAC$ угол $C$ общий и $\angle BAC = \angle APC$ . Они подобны по двум углам (признаки подобия).
б) Из подобия $\frac{AC}{PC} = \frac{BC}{AC}$ , поэтому $PC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{9}{\sqrt{21}}$ .
Угол $APC$ — внешний угол треугольника $ABP$ : $\angle BAP = \angle APC - \angle ABC = 2\angle ABC - \angle ABC = \angle ABC$ . Треугольник $ABP$ равнобедренный: $PA = PB = \sqrt{21} - \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{21}}$ .
Из подобия $\frac{AB}{PA} = \frac{BC}{AC}$ : $AB = \frac{12}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 4$ .
Ответ: б) 4.

Угол между касательной и хордой

Прямая $AT$ касается окружности в точке $A$ , $AB$ — хорда. Угол $TAB$ равен половине дуги $AB$ , которая лежит внутри этого угла. Поэтому он равен вписанному углу $ACB$ , если точка $C$ лежит на другой дуге $AB$ .

Причина для острого угла $TAB$ : радиус $OA$ перпендикулярен касательной, а треугольник $AOB$ равнобедренный. Поэтому $\angle TAB = 90^\circ - \angle OAB = \frac{1}{2}\angle AOB$ . Касательная может быть скрыта в условии: прямая, перпендикулярная диаметру в его конце, касается окружности.

Касательная и вписанный угол на одну дугу

\angle TAB = \frac{1}{2} {\smile}AB = 60^\circ

\angle ACB = \frac{1}{2} {\smile}AB = 60^\circ

Дуга

AB

внутри угла

TAB

равна

120^\circ

. На неё же опирается вписанный угол

ACB

Прямая

AT

касается окружности в точке

A

. Угол

TAB

отмечен с той стороны от хорды

AB

, где нет точки

C

. Двигайте точки

A

B

C

AB \perp AD

, поэтому

AB

касается окружности с диаметром

AD

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M .$
а) Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD .$
б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O .$ Найдите площадь треугольника $AOB ,$ если $AB = \sqrt{10} ,$ а $BC = 2 BM .$

Решение

а) Угол $BAD$ прямой, поэтому прямая $AB$ перпендикулярна диаметру $AD$ в его конце и касается окружности в точке $A$ .
$\angle BAM$ — угол между касательной $AB$ и хордой $AM$ . Он равен вписанному углу $ACM$ , который опирается на дугу $AM$ внутри угла $BAM$ .
$BC \parallel AD$ , поэтому $\angle ACM = \angle CAD$ как накрест лежащие. Значит, $\angle BAM = \angle CAD$ .
б) Пусть $BM = x$ , тогда $BC = 2x$ и $MC = x$ . Из точки $B$ выходят касательная $BA$ и секущая $BMC$ : $BA^2 = BM \cdot BC$ (касательная и секущая). $10 = 2x^2$ , $x = \sqrt{5}$ , $BC = 2\sqrt{5}$ .
Пусть $F$ — основание перпендикуляра из центра $K$ к $BC$ . Он делит хорду $MC$ пополам (перпендикуляр к хорде), а $ABFK$ — прямоугольник. $AK = BF = BM + \frac{MC}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ , $AD = 3\sqrt{5}$ .
Треугольники $COB$ и $AOD$ подобны ( $BC \parallel AD$ ): $\frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}$ (диагонали трапеции). Поэтому $AO = \frac{3}{5}AC$ .
Треугольники $AOB$ и $ACB$ имеют общую высоту из вершины $B$ , $\angle ABC = 90^\circ$ : $S_{AOB} = \frac{3}{5}S_{ABC} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} = 3\sqrt{2}$ .
Ответ: б) $3\sqrt{2}$ .

Равные хорды и равные дуги

В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги, и обратно: равные дуги стягиваются равными хордами. Причина — треугольники $AOB$ и $COD$ с вершиной в центре равны по трём сторонам, поэтому равны центральные углы. На равные дуги опираются равные вписанные углы.

Дуги складываются. Если $AB = CD$ , то дуги $ABC$ и $BCD$ равны, и хорды $AC = BD$ . Равные вписанные углы на равные дуги часто оказываются накрест лежащими, и тогда прямые параллельны.

Равные хорды

AB

CD

стягивают равные дуги, поэтому

\angle ACB = \angle CAD

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R = 8 .$ Известно, что $AB = BC = CD = 12 .$
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD .$

Решение

а) Хорды $AB$ , $BC$ и $CD$ равны, поэтому равны и дуги $AB$ , $BC$ , $CD$ , которые они стягивают (дуги без других вершин).
Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$ , вписанный угол $CAD$ — на дугу $CD$ . Дуги равны, поэтому $\angle ACB = \angle CAD$ .
Это накрест лежащие углы при прямых $BC$ , $AD$ и секущей $AC$ . Значит, $BC \parallel AD$ .
б) Пусть $\alpha = \angle ACB$ . По теореме синусов в треугольнике $ABC$ : $AB = 2R\sin\alpha$ , $\sin\alpha = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ .
Треугольник $ABC$ равнобедренный ( $AB = BC$ ), поэтому $\angle BAC = \alpha$ и угол $\alpha$ острый: $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ . Высота из $B$ делит $AC$ пополам: $AC = 2AB\cos\alpha = 6\sqrt{7}$ .
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 2\alpha$ , косинус двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = -\frac{1}{8}$ .
Дуга $BCD$ равна дуге $ABC$ , поэтому $BD = AC = 6\sqrt{7}$ . По теореме косинусов в треугольнике $ABD$ : $252 = 144 + AD^2 - 24 \cdot AD \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$ .
$AD^2 + 3AD - 108 = 0$ , $AD = 9$ (второй корень $-12$ отрицательный).
Ответ: б) 9.

Две параллельные хорды

Если две хорды окружности параллельны, их концы — вершины вписанной трапеции. Вписанная трапеция равнобедренная: её боковые стороны равны и диагонали равны. Так доказывают равенство отрезков с концами на окружности.

Ищите хорды, которые лежат на сторонах параллелограмма или трапеции. Порядок точек на окружности показывает, какие отрезки — боковые стороны трапеции, а какие — диагонали.

ABED

ABDK

— трапеции, вписанные в окружность.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Окружность проходит через вершины $A , B$ и $D$ параллелограмма $ABCD ,$ пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K .$
а) Докажите, что $AE = AK .$
б) Найдите отношение $KE : BD ,$ если $\angle BAD = 60^{\circ} .$

Решение

а) Точка $E$ лежит на $BC$ , поэтому $BE \parallel AD$ . Четырёхугольник $ABED$ — вписанная трапеция, она равнобедренная. Её диагонали равны: $AE = BD$ .
Точка $K$ лежит на прямой $CD$ , поэтому $DK \parallel AB$ . Точки идут по окружности в порядке $A$ , $B$ , $D$ , $K$ : $ABDK$ — вписанная трапеция с основаниями $AB$ и $DK$ . Её боковые стороны равны: $AK = BD$ .
Значит, $AE = BD = AK$ .
б) Четырёхугольник $ABEK$ вписан в окружность, поэтому $\angle AKE = 180^\circ - \angle ABE$ (вписанный четырёхугольник).
Точка $E$ лежит на стороне $BC$ : $\angle ABE = \angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 120^\circ$ . Поэтому $\angle AKE = 60^\circ$ .
По пункту а) $AE = AK$ . Равнобедренный треугольник $AKE$ с углом $60^\circ$ при основании равносторонний: $KE = AE = BD$ .
Ответ: б) $1 : 1$ .

Окружность, которой нет на рисунке

Часто в условии нет окружности, на которой лежат нужные углы. Тогда найдите четыре точки на одной окружности по признаку вписанного четырёхугольника. Самый частый признак — два прямых угла, которые опираются на один отрезок. Затем найдите вписанные углы этой окружности на одну дугу.

Одна задача может потребовать двух таких окружностей. В примере первая окружность доказывает пункт а), а вторая даёт угол для пункта б).

Точки

B

K

лежат на окружности с диаметром

MN

, точки

A

K

— на окружности с диаметром

MD

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K .$
а) Докажите, что $\angle BKM = 45^{\circ} .$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK ,$ если сторона $AB = 2 \sqrt{10} .$

Решение

а) Прямоугольные треугольники $CBM$ и $DCN$ равны по двум катетам: $CB = DC$ , $BM = CN$ . Поэтому $\angle BCM = \angle CDN$ .
В треугольнике $KCN$ : $\angle KCN + \angle KNC = \angle CDN + \angle DNC = 90^\circ$ . Значит, $\angle CKN = 90^\circ$ и $CM \perp DN$ .
Углы $MBN$ и $MKN$ прямые и опираются на отрезок $MN$ . Точки $B$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $MN$ (два прямых угла).
Вписанные углы $BKM$ и $BNM$ опираются на дугу $BM$ , их вершины по одну сторону от $BM$ . Треугольник $MBN$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $\angle BKM = \angle BNM = 45^\circ$ .
б) Углы $MAD$ и $MKD$ прямые, поэтому $A$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $MD$ . Вписанные углы $AKM$ и $ADM$ опираются на дугу $AM$ : $\angle AKM = \angle ADM$ .
В треугольнике $AMD$ : $\operatorname{tg}\angle ADM = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{2}$ , $\sin\angle ADM = \frac{1}{\sqrt{5}}$ , $\cos\angle ADM = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .
$\angle AKB = \angle AKM + \angle MKB = \angle ADM + 45^\circ$ . По синусу суммы: $\sin\angle AKB = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{3}{\sqrt{10}}$ .
По теореме синусов в треугольнике $ABK$ : $R = \frac{AB}{2\sin\angle AKB} = \frac{2\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{10}{3}$ .
Ответ: б) $\frac{10}{3}$ .

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать