тема 8 из 20

Тождества в тригонометрическом уравнении

В уравнении задания 14 функции стоят от разных аргументов: $\sin(x + \pi)$ , $\cos 2x$ , $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Тождества переводят все слагаемые в функции одного аргумента $x$ , а квадраты — в одну функцию. После этого уравнение раскладывают на множители или сводят к квадратному. Скобка $a\sin x + b\cos x = 0$ решается делением на $\cos x$ .

Часто в задании14На карте навыков

Тождества в тригонометрическом уравнении
—В аналитике

Одна функция одного аргумента

Простейшее уравнение получается, когда в уравнении остаётся одна функция от $x$ . Тождества приводят к этому уравнения задания 14.

Сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ , $\frac{3\pi}{2}$ , $2\pi$ и минус перед $x$ уберите формулами приведения.
Аргумент $x + \frac{\pi}{4}$ или $2x + \frac{\pi}{6}$ раскройте по формуле синуса или косинуса суммы.
Аргумент $2x$ переведите в $x$ по формулам двойного угла. Форму $\cos 2x$ выберите по остальным слагаемым.
Квадрат одной функции выразите через другую по основному тождеству.
Перенесите всё в одну часть. Дальше разложите на множители или сведите к квадратному.

Сдвиг аргумента убирают первым

Слагаемые $\sin(x + \pi)$ , $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$ , $\sin(2\pi - x)$ сразу замените по формулам приведения: $\sin(x + \pi) = -\sin x$ , $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$ , $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ . Аргумент $x - \pi$ отличается от $x + \pi$ на $2\pi$ , поэтому $\sin(x - \pi) = -\sin x$ . Так же $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$ .

Минус перед $x$ убирают по чётности: $\sin(-x) = -\sin x$ , $\cos(-x) = \cos x$ . Ошибка в знаке даёт другое уравнение и другие серии.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение: $2 \sin ( \pi + x ) \cdot \sin ( \frac{\pi}{2} + x ) = \sin x$
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $[ 3 \pi ; \frac{9 \pi}{2} \left]\right.$

Решение

а) $\sin(\pi + x) = -\sin x$ , $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ . Уравнение: $-2\sin x\cos x = \sin x$ .
Перенесите всё влево и вынесите $\sin x$ : $-\sin x\,(2\cos x + 1) = 0$ . На $\sin x$ не делите (почему).
$\sin x = 0$ : $x = \pi n$ . $\cos x = -\frac{1}{2}$ : $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
б) На окружности отрезок $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$ идёт от точки $\pi$ до точки $\frac{\pi}{2}$ через $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$ . Серия $\pi n$ даёт $3\pi$ и $4\pi$ .
Из серий $\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ в этой дуге лежит только точка $-\frac{2\pi}{3}$ : $4\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$ . Точка $4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} > \frac{9\pi}{2}$ не подходит.
Ответ: а) $\pi n;\ \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $3\pi;\ \frac{10\pi}{3};\ 4\pi$ .

Двойной угол: форму косинуса выбирают по уравнению

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ . У $\cos 2x$ три формы (какую взять). В уравнении берите ту, после которой остаётся одна функция: $1 - 2\sin^2 x$ , если в других слагаемых $\sin x$ ; $2\cos^2 x - 1$ , если $\cos x$ ; $\cos^2 x - \sin^2 x$ , если рядом стоит $\sin^2 x$ или $\cos^2 x$ .

Единица рядом с $\cos 2x$ сокращается: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ , $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ . Формулу читают и справа налево: $2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = \cos x$ .

Пример

а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 + \sqrt{2}\sin x$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ .

1.а) Справа $\sin x$ , поэтому $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ : $1 - 2\sin^2 x = 1 + \sqrt{2}\sin x$ .
2. $2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0$ , $\sin x\,(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$ .
3. $\sin x = 0$ : $x = \pi n$ . $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ , $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ .
4.б) На окружности отрезок $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ — дуга от левой точки $\pi$ против часовой стрелки до верхней точки $\frac{5\pi}{2}$ . На ней лежат $\pi$ , $2\pi$ и точки III и IV четвертей: $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ , $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ .

Ответ: а) $\pi n;\ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\pi;\ \frac{5\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4};\ 2\pi$

Квадрат одной функции через другую

Если в уравнении есть $\cos x$ и $\sin^2 x$ , замените $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : останется одна функция $\cos x$ . Так же $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ . Функцию в первой степени не заменяйте: $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$ даёт корень и выбор знака.

Тождество работает и в обратную сторону. $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ , поэтому $2\cos^3 x - 2\cos x = 2\cos x(\cos^2 x - 1) = -2\cos x\sin^2 x$ . Так в уравнении $2\cos^3 x - 2\cos x + \sin^2 x = 0$ появляется общий множитель: $\sin^2 x\,(1 - 2\cos x) = 0$ .

Пример

а) Решите уравнение $2\sin^3 x - 2\sin x = \sqrt{3}\cos^2 x$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ .

1.а) $2\sin^3 x - 2\sin x = 2\sin x(\sin^2 x - 1) = -2\sin x\cos^2 x$ .
2. $-2\sin x\cos^2 x - \sqrt{3}\cos^2 x = 0$ , $-\cos^2 x\,(2\sin x + \sqrt{3}) = 0$ .
3. $\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ . $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ , $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ .
4.б) Первая серия: $-3\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le -\frac{3\pi}{2}$ , $-3{,}5 \le n \le -2$ , $n = -3, -2$ : $-\frac{5\pi}{2}$ , $-\frac{3\pi}{2}$ (двойное неравенство).
5.Вторая и третья серии при $n = -1$ : $-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$ , $-\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$ . Оба числа лежат между $-3\pi$ и $-\frac{3\pi}{2}$ . При $n = 0$ числа больше $-\frac{3\pi}{2}$ , при $n = -2$ меньше $-3\pi$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n;\ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{8\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2}$

Сумма в аргументе: формулы сложения

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ , $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ . Если к $x$ или $2x$ прибавлен угол $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{3}$ , раскройте скобку: $\cos\beta$ и $\sin\beta$ — числа из таблицы.

Множитель перед скобкой сокращает знаменатель табличных значений: $\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x + \cos x$ , $2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ , $2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x$ . После раскрытия одно из слагаемых обычно сокращается с правой частью.

Пример

а) Решите уравнение $2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos 2x = \cos x + 1$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ .

1.а) $2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ .
2. $\sqrt{3}\sin x + \cos x + \cos 2x = \cos x + 1$ . Слагаемое $\cos x$ сокращается: $\sqrt{3}\sin x + \cos 2x - 1 = 0$ .
3. $\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x$ : $\sqrt{3}\sin x - 2\sin^2 x = 0$ , $\sin x\,(\sqrt{3} - 2\sin x) = 0$ .
4. $\sin x = 0$ : $x = \pi n$ . $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ , $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ .
5.б) Серия $\pi n$ : $-2 \le n \le -\frac{1}{2}$ , $n = -2, -1$ , корни $-2\pi$ и $-\pi$ . Две другие серии при $n = -1$ : $\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$ , $\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ . При $n = 0$ их числа положительны, при $n = -2$ меньше $-2\pi$ .

Ответ: а) $\pi n;\ \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-2\pi;\ -\frac{5\pi}{3};\ -\frac{4\pi}{3};\ -\pi$

Однородное уравнение: делим на косинус

Уравнение $a\sin x + b\cos x = 0$ при $a \ne 0$ делят на $\cos x$ : $a\operatorname{tg} x + b = 0$ , $\operatorname{tg} x = -\frac{b}{a}$ . Корни не теряются: при $\cos x = 0$ синус равен $\pm 1$ , и левая часть равна $\pm a \ne 0$ . Получается одна серия с шагом $\pi$ (уравнение с тангенсом).

Корни однородного уравнения на окружности

\sin x - \cos x = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{tg} x = 1

x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}

При

\cos x = 0

синус равен

\pm 1

, и левая часть равна

\pm 1 \ne 0

. Деление на

\cos x

не теряет корней.

Точки, где

a\sin x + b\cos x = 0

, лежат на прямой через центр окружности. Две такие точки отстоят на

\pi

, поэтому серия одна, с шагом

\pi

. Двигайте точку; крестики — точки, где

\cos x = 0

Однородная скобка после разложения

Скобка $a\sin x + b\cos x$ обычно появляется после разложения: $\sin 2x + 2\sin^2 x = 2\sin x\,(\cos x + \sin x)$ . На $\cos x$ делят только скобку, а не всё уравнение. Если в уравнении есть квадраты и число, запишите число как $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ : тогда все слагаемые второй степени и раскладываются.

Пример

а) Решите уравнение $\sin 2x = 2\cos^2 x$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$ .

1.а) $2\sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0$ , $2\cos x\,(\sin x - \cos x) = 0$ . Всё уравнение на $\cos^2 x$ не делите: при $\cos x = 0$ обе части равны нулю, это корни.
2. $\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ .
3. $\sin x - \cos x = 0$ . Здесь $\cos x \ne 0$ , иначе $\sin x = \pm 1$ и скобка не равна нулю. Делим на $\cos x$ : $\operatorname{tg} x = 1$ , $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ .
4.б) Первая серия: $-\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{\pi}{2}$ , $-\frac{3}{2} \le n \le 0$ , $n = -1, 0$ : $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ .
5.Вторая серия: $-\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{\pi}{2}$ , $-\frac{5}{4} \le n \le \frac{1}{4}$ , $n = -1, 0$ : $-\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{4}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{3\pi}{4};\ -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{2}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать