тема 22 из 26

Биссектриса и дуги описанной окружности

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в середине $W$ дуги $BC$ , которая не содержит $A$ . Поэтому $WB = WC$ , а углы $WBC$ и $WCB$ равны половине угла $A$ . Лемма о трезубце добавляет третий равный отрезок: $WI = WB = WC$ , где $I$ — центр вписанной окружности.

Реже в задании18На карте навыков

Биссектриса и дуги описанной окружности
—В аналитике

Биссектриса проходит через середину дуги

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $W$ — середине дуги $BC$ , которая не содержит $A$ .

Вписанные углы $BAW$ и $WAC$ равны, поэтому равны дуги $BW$ и $WC$ и хорды: $WB = WC$ .
Углы при хорде $BC$ : $\angle WBC = \angle WCB = \frac{1}{2}\angle A$ .
Точка $W$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$ .
Лемма о трезубце: $WB = WC = WI$ , где $I$ — центр вписанной окружности.

Точка W — середина дуги BC

Углы $BAW$ и $WAC$ вписанные, каждый равен половине угла $A$ . Значит, равны дуги $BW$ и $WC$ , на которые они опираются, и хорды этих дуг: $WB = WC$ . Треугольник $BWC$ равнобедренный.

Углы при точке $W$ тоже выражаются через углы треугольника. Угол $WBC$ опирается на дугу $WC$ , поэтому $\angle WBC = \angle WAC = \frac{1}{2}\angle A$ . Угол $AWC$ опирается на дугу $AC$ , поэтому $\angle AWC = \angle ABC$ .

Биссектриса всегда приходит в середину дуги

\angle BAW = \angle WAC = 30^\circ

{\smile}BW = {\smile}WC = 60^\circ

Хорды равных дуг равны:

WB = WC

. Треугольник

BWI

равнобедренный:

WI = WB = R

Биссектриса угла

A

пересекает окружность в точке

W

I

— центр вписанной окружности. Отмечены равные дуги

BW

WC

. Двигайте вершины.

M

— середина дуги

BC

. Углы

KMC

ABC

опираются на дугу

AC

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K ,$ а окружность, описанную около треугольника $ABC ,$   - в точке $M .$
а)  Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC ,$ если $AC = 6 , BC = 7 , AB = 8 .$

Решение

а) $AM$ — биссектриса, поэтому вписанные углы $BAM$ и $MAC$ равны. Они опираются на дуги $BM$ и $MC$ , значит, эти дуги равны.
Равные дуги стягиваются равными хордами: $MB = MC$ . Треугольник $BMC$ равнобедренный.
б) По свойству биссектрисы $\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6}$ , поэтому $KC = 7 \cdot \frac{6}{14} = 3$ .
Вписанные углы $AMC$ и $ABC$ опираются на дугу $AC$ , точки $M$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$ . Поэтому $\angle KMC = \angle AMC = \angle ABC$ .
По теореме косинусов: $\cos\angle ABC = \frac{8^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{11}{16}$ , $\sin\angle ABC = \sqrt{1 - \frac{121}{256}} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$ .
По теореме синусов в треугольнике $KMC$ : $R = \frac{KC}{2\sin\angle KMC} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$ .
Ответ: б) $\frac{8\sqrt{15}}{15}$ .

Лемма о трезубце

Центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на биссектрисе $AW$ . Тогда $WI = WB = WC$ : точки $B$ , $I$ , $C$ лежат на окружности с центром $W$ .

Доказательство: $\angle WBI = \angle WBC + \angle CBI = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}$ . Угол $WIB$ — внешний угол треугольника $ABI$ : $\angle WIB = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}$ . Углы равны, треугольник $WBI$ равнобедренный, $WI = WB$ . Леммы нет в школьном учебнике, поэтому в решении приведите это доказательство.

Пример

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$ , радиус описанной окружности равен 5. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $W$ , $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$ . Найдите $WI$ .

WB = WC = WI

: точки

B

I

C

на окружности с центром

W

1.Вписанный угол $WBC$ опирается на дугу $WC$ : $\angle WBC = \angle WAC = 30^\circ$ .
2.Треугольник $WBC$ вписан в ту же окружность. По теореме синусов: $WC = 2R\sin\angle WBC = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .
3.По лемме о трезубце $WI = WC = 5$ .

Ответ: $5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать