тема 24 из 26

Вписанная окружность треугольника

Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис: он одинаково удалён от всех сторон. Площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус: $S = pr$ , поэтому $r = \frac{S}{p}$ . Отрезок касательной из вершины равен $p$ минус противолежащая сторона. В прямоугольном треугольнике $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Реже в задании18На карте навыков

Вписанная окружность и площадь
—В аналитике

Центр на биссектрисах, S = pr

Окружность с центром $I$ и радиусом $r$ вписана в треугольник со сторонами $a$ , $b$ , $c$ и полупериметром $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Центр $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника. Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам.
$S = pr$ , отсюда $r = \frac{S}{p}$ . Площадь находят другим способом: через высоту, через синус угла, по клеткам.
Отрезки касательных из вершины равны $p$ минус противолежащая сторона: из вершины $A$ это $p - a$ .
Прямоугольный треугольник с катетами $a$ , $b$ и гипотенузой $c$ : $r = \frac{a + b - c}{2}$ .
Многоугольник лежит внутри треугольника, и три его стороны лежат на сторонах треугольника. Тогда окружность, вписанная в многоугольник, вписана и в треугольник.

Радиус вписанной окружности: площадь на полупериметр

r = \frac{S}{p} \approx \frac{20}{10{,}6} \approx 1{,}89

p \approx \frac{7{,}81 + 5{,}39 + 8}{2} \approx 10{,}6

AM = p - BC \approx 2{,}79

Наибольший угол

C

не прямой:

\frac{BC + CA - AB}{2} = p - AB \approx 2{,}6

, а

r \approx 1{,}89

Центр

I

лежит на биссектрисах. Равные отрезки касательных отмечены одинаковыми штрихами. Двигайте вершины.

Центр вписанной окружности — на биссектрисах

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Её центр $I$ удалён от каждой стороны на радиус $r$ . Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому центр — точка пересечения биссектрис треугольника.

То же верно для окружности, вписанной в угол или в многоугольник: центр лежит на биссектрисе каждого угла. Чтобы доказать, что центр лежит на прямой $\ell$ , докажите, что $\ell$ — биссектриса одного из углов фигуры.

AM = MC

, поэтому

AC

делит угол

MAD

пополам и проходит через центр вписанной окружности.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC .$
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC .$
б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5 , BC = 10 , \angle BAD = 60^{\circ} .$

Решение

а) $AM = MC$ , треугольник $AMC$ равнобедренный: $\angle MAC = \angle MCA$ .
$BC \parallel AD$ , поэтому $\angle MCA = \angle CAD$ как накрест лежащие.
Значит, $\angle MAC = \angle CAD$ , и $AC$ — биссектриса угла $MAD$ треугольника $AMD$ . Центр вписанной окружности лежит на каждой биссектрисе треугольника, а значит, на $AC$ .
б) Пусть $AM = MC = x$ , тогда $BM = 10 - x$ . Угол $ABM$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (углы параллелограмма). По теореме косинусов в треугольнике $ABM$ : $x^2 = 25 + (10 - x)^2 - 2 \cdot 5 \cdot (10 - x) \cdot \cos 120^\circ$ .
$x^2 = 25 + 100 - 20x + x^2 + 50 - 5x$ , откуда $25x = 175$ и $x = 7$ .
В треугольнике $MCD$ : $MC = 7$ , $CD = 5$ , $\angle C = \angle A = 60^\circ$ . $MD^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 39$ , $MD = \sqrt{39}$ .
Высота треугольника $AMD$ к стороне $AD$ равна высоте параллелограмма $5\sin 60^\circ = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ . $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ .
$p = \frac{7 + 10 + \sqrt{39}}{2}$ , $r = \frac{S}{p} = \frac{25\sqrt{3}}{17 + \sqrt{39}} = \frac{25\sqrt{3}(17 - \sqrt{39})}{289 - 39} = \frac{17\sqrt{3} - 3\sqrt{13}}{10}$ . Ответ: б) $\frac{17\sqrt{3} - 3\sqrt{13}}{10}$ .

Площадь через полупериметр: S = pr

Площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности: $S = pr$ , где $p = \frac{a + b + c}{2}$ . Отсюда $r = \frac{S}{p}$ : площадь находят другим способом, а потом делят на полупериметр.

Доказательство. Отрезки $IA$ , $IB$ , $IC$ делят треугольник на три треугольника с вершиной $I$ . Их высоты — радиусы в точки касания, каждая равна $r$ : $S = \frac{ar}{2} + \frac{br}{2} + \frac{cr}{2} = pr$ . Так же $S = pr$ для любого многоугольника, в который вписана окружность.

Пример

Стороны треугольника $ABC$ : $AB = 13$ , $BC = 14$ , $AC = 15$ . Найдите радиус вписанной окружности.

Три треугольника с вершиной

I

имеют высоту

r

1.Пусть $AH$ — высота, $BH = x$ . По теореме Пифагора: $13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$ , откуда $169 = 29 + 28x$ , $x = 5$ и $AH = \sqrt{169 - 25} = 12$ .
2. $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$ , $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ .
3. $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ .

Ответ: $4$

Отрезки касательных: p минус противолежащая сторона

Вписанная окружность касается сторон $BC$ , $CA$ , $AB$ в точках $K$ , $L$ , $M$ . Отрезки касательных из одной вершины равны: $AM = AL = x$ , $BM = BK = y$ , $CK = CL = z$ . Каждая сторона — сумма двух отрезков, поэтому $x + y + z = p$ и $x = p - (y + z) = p - BC$ .

В равнобедренном треугольнике отрезки касательных из концов основания равны, поэтому окружность касается основания в его середине, а центр лежит на высоте к основанию.

Пример

Стороны треугольника $ABC$ : $AB = 7$ , $BC = 8$ , $AC = 9$ . Вписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $K$ . Найдите $AK$ и $KC$ .

Равные отрезки касательных отмечены одинаковыми штрихами.

1. $p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$ .
2. $AK = p - BC = 12 - 8 = 4$ .
3. $KC = p - AB = 12 - 7 = 5$ . Проверка: $4 + 5 = 9 = AC$ .

Ответ: $AK = 4$ , $KC = 5$

Прямоугольный треугольник: r = (a + b − c) / 2

Катеты $a$ , $b$ , гипотенуза $c$ . Радиусы в точки касания на катетах вместе с катетами образуют квадрат со стороной $r$ : отрезки касательных из вершины прямого угла равны $r$ . Другие отрезки касательных равны $a - r$ и $b - r$ , а их сумма — гипотенуза: $(a - r) + (b - r) = c$ . Отсюда $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Это отрезок касательной $p - c$ из вершины прямого угла. При другом угле $p - c \ne r$ : формулу применяют только к прямоугольному треугольнику, иначе $r = \frac{S}{p}$ .

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.

CKIL

— квадрат со стороной

r

1. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .
2. $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ .
3.Проверка через площадь: $S = 24$ , $p = 12$ , $r = \frac{24}{12} = 2$ .

Ответ: $2$

Окружность, вписанная в многоугольник

Окружность внутри треугольника, которая касается прямых всех трёх его сторон, — вписанная окружность этого треугольника. Поэтому если в многоугольник вписана окружность, а три его стороны лежат на сторонах треугольника, её радиус равен $\frac{S}{p}$ этого треугольника.

Сторона многоугольника, которая не лежит на сторонах треугольника, делит треугольник на треугольник и четырёхугольник. Этот четырёхугольник описан около той же окружности, в нём суммы противоположных сторон равны. Это равенство даёт уравнение на неизвестный отрезок.

Пример

В ромбе $ABCD$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $CD$ . Прямые $AK$ и $AL$ пересекают диагональ $BD$ в точках $P$ и $Q$ . В пятиугольник $CKPQL$ можно вписать окружность. Найдите её радиус, если сторона ромба равна $6\sqrt{5}$ .

Окружность касается прямых

BC

CD

BD

: она вписана в треугольник

BCD

1.Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей, $BO = OD = 3x$ . $AK$ и $BO$ — медианы треугольника $ABC$ , $P$ — точка их пересечения. Медианы делятся ею в отношении $2 : 1$ от вершины: $BP = 2x$ , $PO = x$ , $PK = \frac{AP}{2}$ .
2.Окружность лежит внутри треугольника $BCD$ и касается прямых $BC$ , $CD$ , $BD$ : это вписанная окружность треугольника $BCD$ .
3.Четырёхугольник $KCDP$ описан около неё: $KC + PD = CD + PK$ . $KC = 3\sqrt{5}$ , $PD = PO + OD = 4x$ , поэтому $PK = 4x - 3\sqrt{5}$ .
4.Диагонали ромба перпендикулярны: $AO^2 = 180 - 9x^2$ , $AP^2 = AO^2 + PO^2 = 180 - 8x^2$ . Из $AP = 2PK$ : $\sqrt{180 - 8x^2} = 8x - 6\sqrt{5}$ .
5.Возведите в квадрат: $180 - 8x^2 = 64x^2 - 96\sqrt{5}x + 180$ , $72x^2 = 96\sqrt{5}x$ , $x = \frac{4\sqrt{5}}{3}$ . Правая часть положительна: $8x - 6\sqrt{5} = \frac{14\sqrt{5}}{3}$ .
6. $BD = 6x = 8\sqrt{5}$ , $OC = \sqrt{180 - 80} = 10$ , $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5} \cdot 10 = 40\sqrt{5}$ , $p = \frac{6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} + 8\sqrt{5}}{2} = 10\sqrt{5}$ .
7. $r = \frac{S}{p} = \frac{40\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = 4$ .

Ответ: $4$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать