Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Возьмите на прямой две точки $B$ и $D$ и рассмотрите треугольник $PBD$. Расстояние от $P$ до прямой $BD$ — его высота $PH$. Если треугольник прямоугольный с прямым углом при $P$, то $PH = \frac{PB \cdot PD}{BD}$ (высота к гипотенузе); иначе высоту находят через площадь.

Прямой угол при $P$ часто даёт перпендикулярность прямой и плоскости: если $PB$ перпендикулярна плоскости, в которой лежит $PD$, то $PB \perp PD$ (прямая и плоскость).

Если плоскости $\beta$ и $\alpha$ перпендикулярны, то прямая в $\beta$, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна плоскости $\alpha$ (перпендикулярные плоскости). Поэтому, если точка $P$ лежит в плоскости $\beta \perp \alpha$, опустите перпендикуляр $PH$ на линию пересечения. Это и есть расстояние от $P$ до $\alpha$.

Часто $\beta$ — грань, а $\alpha$ содержит прямую, перпендикулярную этой грани. Тогда задача сводится к высоте прямоугольного треугольника в грани.

Пусть прямая пересекает плоскость в точке $C$. Для точек $K$ и $S$ этой прямой перпендикуляры $KH$ и $SO$ к плоскости параллельны, а треугольники $CKH$ и $CSO$ подобны. Поэтому $KH = \frac{CK}{CS} \cdot SO$.

Так находят высоту точки на боковом ребре пирамиды: это доля высоты пирамиды. Если прямая параллельна плоскости, все её точки удалены от плоскости одинаково: расстояние можно мерить из любой точки прямой.

Выберите в данной плоскости прямую $\ell$ и проведите через точку $P$ плоскость $\beta$, перпендикулярную $\ell$: для этого найдите две пересекающиеся прямые через $P$, перпендикулярные $\ell$. Плоскость, проходящая через $\ell$, перпендикулярна $\beta$.

Дальше работайте в $\beta$: опустите из $P$ перпендикуляр на линию пересечения плоскостей и найдите его как высоту треугольника.

Расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$ — высота пирамиды $PABC$, опущенная из $P$. Посчитайте объём этой пирамиды другим способом, через другую грань как основание (любая грань), затем $h = \frac{3V}{S_{ABC}}$.

Метод удобен, когда у пирамиды есть ребро, перпендикулярное грани, или когда её объём — известная доля объёма всего тела. Перпендикуляр тогда строить не нужно.

Введите оси по трём перпендикулярным рёбрам. Уравнение плоскости $ax + by + cz = d_0$: подставьте координаты трёх её точек и найдите $a$, $b$, $c$ при удобном $d_0$. Вектор $(a; b; c)$ перпендикулярен плоскости.

Расстояние от точки $(x_0; y_0; z_0)$: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d_0|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. В решении запишите систему координат, координаты точек и уравнение плоскости: без них ход решения не виден.