тема 4 из 15

Построение сечения многогранника

Сечение многогранника — многоугольник, по которому плоскость пересекает его грани. Его строят по граням: две точки сечения в одной грани соединяют отрезком, а параллельные грани плоскость пересекает по параллельным отрезкам. Если в грани только одна точка сечения, вторую даёт след — точка, где прямая сечения пересекает продолжение ребра. В пункте а) обычно надо доказать вид сечения или то, что плоскость проходит через вершину.

Главная тема в задании15На карте навыков

Построение сечения многогранника плоскостью
—В аналитике

Стройте сечение по граням

Каждая сторона сечения лежит в одной грани. Стороны строят по очереди, пока многоугольник не замкнётся.

Две точки сечения в одной грани соединяют отрезком.
Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным отрезкам.
След: прямую сечения в грани продолжают до пересечения с прямой ребра. Точка пересечения лежит в сечении и в плоскости каждой грани, которая содержит это ребро.
Если плоскость параллельна прямой $a$ , то грань, которая содержит $a$ или прямую, параллельную $a$ , она пересекает по отрезку, параллельному $a$ .
Плоскость, перпендикулярную прямой, задают две пересекающиеся прямые, перпендикулярные ей. Плоскость, перпендикулярная плоскости, содержит перпендикуляр к ней.
Вид сечения доказывают по сторонам: какие стороны параллельны, какие равны, какие углы прямые.

Параллельные грани: параллельные отрезки

Противоположные грани куба и параллелепипеда параллельны, основания призмы тоже параллельны. Две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым. Поэтому если сечение пересекает нижнее основание по отрезку $AC$ , то верхнее — по отрезку, параллельному $AC$ .

Через известную точку верхней грани проведите прямую, параллельную стороне сечения в нижней грани. Точки, где она пересекает рёбра, найдите средней линией или подобием.

Основания призмы параллельны, поэтому

KL \parallel AC

. Боковые стороны

AK

CL

равны.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В правильной треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ точка $K$ – середина ребра $A_{1} B_{1} .$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A , K$ и $C .$
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 4.

Решение

а) Точки $A$ и $C$ лежат в нижнем основании, поэтому $AC$ — сторона сечения.
Верхнее основание параллельно нижнему. Сечение пересекает его по прямой через $K$ , параллельной $AC$ , то есть параллельной $A_1C_1$ . Она пересекает $B_1C_1$ в середине $L$ : $KL$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$ , $KL = \frac12 AC = 2$ .
Сечение — четырёхугольник $AKLC$ . $KL \parallel AC$ и $KL \ne AC$ , поэтому это трапеция.
Прямоугольные треугольники $AA_1K$ и $CC_1L$ равны по двум катетам ( $AA_1 = CC_1$ , $A_1K = C_1L$ ), поэтому $AK = CL$ . Трапеция равнобедренная.
б) $AK = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt5$ . Высота трапеции: $h = \sqrt{AK^2 - \left(\frac{AC - KL}{2}\right)^2} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19}$ .
$KL \parallel AC$ , поэтому высота треугольника $AKC$ к стороне $AC$ тоже равна $\sqrt{19}$ : $S_{AKC} = \frac12 \cdot 4 \cdot \sqrt{19} = 2\sqrt{19}$ .
Пирамида $KABC$ : $S_{ABC} = \frac{\sqrt3}{4} \cdot 4^2 = 4\sqrt3$ , высота — ребро призмы, 4. $V = \frac13 \cdot 4\sqrt3 \cdot 4 = \frac{16\sqrt3}{3}$ .
Та же пирамида с основанием $AKC$ : $V = \frac13 \cdot S_{AKC} \cdot d$ , где $d$ — искомое расстояние (метод объёмов). $d = \frac{3V}{S_{AKC}} = \frac{16\sqrt3}{2\sqrt{19}} = \frac{8\sqrt{57}}{19}$ . Ответ: $\frac{8\sqrt{57}}{19}$ .

Метод следов

Если в грани лежит только одна точка сечения, нужна вторая. Её дают прямые, которые лежат в одной плоскости. Прямая сечения в нижней грани и прямая ребра этой грани пересекаются в точке $X$ , обычно на продолжении ребра. Ребро лежит и в соседней грани, поэтому $X$ лежит в плоскости соседней грани и в сечении. Соедините $X$ с точкой сечения в соседней грани.

Прямая, по которой сечение пересекает плоскость основания, называется следом. Длины на продолжениях рёбер считают подобием: так же находят, в каком отношении сечение делит ребро.

Пример

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 6 точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $AB$ и $BC$ . Постройте сечение куба плоскостью $PQD_1$ и найдите, в каком отношении оно делит ребро $AA_1$ , считая от точки $A$ .

След

XY

— прямая

PQ

. Точки

X

Y

лежат на продолжениях рёбер

DA

DC

1. $P$ и $Q$ лежат в нижней грани, поэтому $PQ$ — сторона сечения, а прямая $PQ$ — след.
2.Продолжим $PQ$ до пересечения с прямыми $DA$ и $DC$ в точках $X$ и $Y$ . Треугольники $XAP$ и $QBP$ равны: $AP = BP$ , углы при $P$ вертикальные, углы при $A$ и $B$ прямые. Поэтому $XA = BQ = 3$ . Так же $YC = 3$ .
3.Точки $X$ и $D_1$ лежат в плоскости грани $AA_1D_1D$ . Отрезок $XD_1$ пересекает ребро $AA_1$ в точке $E$ , и $ED_1$ — сторона сечения. Так же прямая $YD_1$ даёт точку $F$ на ребре $CC_1$ .
4.Сечение — пятиугольник $PQFD_1E$ .
5.Треугольник $XAE$ подобен треугольнику $XDD_1$ : $\frac{AE}{DD_1} = \frac{XA}{XD} = \frac39 = \frac13$ . Значит, $AE = 2$ , $EA_1 = 4$ .

Ответ: пятиугольник $PQFD_1E$ , $AE : EA_1 = 1 : 2$

След на плоскости основания пирамиды

Каждая боковая грань пирамиды пересекает основание по стороне основания. Поэтому прямые сторон основания лежат в плоскостях боковых граней. Пусть сечение проходит через вершину $A$ , точку $N$ на стороне $BC$ и точку $M$ на ребре $SD$ . Прямая $AN$ — след. Она пересекает прямую $DC$ в точке $E$ .

Точки $E$ и $M$ лежат в плоскости грани $SDC$ . Прямая $EM$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$ , и сечение — четырёхугольник $ANKM$ . Отношение $SK : KC$ даёт теорема Менелая.

Сечение пирамиды через три точки

Сечение — четырёхугольник

P = A

BN : NC = 1 : 1

SM : MD = 1 : 1

Плоскость проходит через точки

P

N

M

. Оранжевая штриховая прямая — след на плоскости основания, оранжевые точки — пересечения прямых сечения с продолжениями сторон основания. Двигайте точки по рёбрам.

Сечение, параллельное прямой

Если плоскость сечения параллельна прямой $a$ , то каждая плоскость через $a$ пересекает сечение по прямой, параллельной $a$ . Поэтому в грани, которая содержит $a$ или прямую, параллельную $a$ , сторона сечения параллельна $a$ . Через данную точку этой грани проведите прямую, параллельную $a$ .

Если прямая $a$ не лежит в грани, возьмите вспомогательную плоскость через $a$ : диагональное сечение пирамиды через её высоту, грань через ребро. В ней проведите прямую, параллельную $a$ , через точку, которая уже лежит в сечении.

Плоскость, перпендикулярная прямой $MN$ , параллельна каждой прямой, перпендикулярной $MN$ . Поэтому сечение, перпендикулярное $MN$ , строят как сечение, параллельное этим прямым.

EK \parallel SO

в плоскости

SAC

FL \parallel SO

в плоскости

SBD

. Сечение — трапеция

MKLN

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD .$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O .$ Точки $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO .$
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если $AD = 10 , BC = 8 , SO = 8 ,$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD .$

Решение

а) $MN$ — средняя линия трапеции: $MN \parallel AD$ , $MN = \frac{AD + BC}{2}$ . Она пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в их серединах $E$ и $F$ (средняя линия).
Плоскости $SAC$ и $SBD$ проходят через $SO$ , а $\alpha \parallel SO$ . Поэтому они пересекают $\alpha$ по прямым $EK \parallel SO$ и $FL \parallel SO$ , где $K$ лежит на $SA$ , $L$ — на $SD$ . Сечение — четырёхугольник $MKLN$ .
Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: $\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = \frac{AD}{BC}$ . Отсюда $\frac{AE}{AO} = \frac{DF}{DO}$ , обе дроби равны $\frac{AD + BC}{2AD}$ .
$\frac{AK}{AS} = \frac{AE}{AO}$ и $\frac{DL}{DS} = \frac{DF}{DO}$ , поэтому $\frac{AK}{AS} = \frac{DL}{DS}$ , и $KL \parallel AD$ . Значит, $KL \parallel MN$ .
$KL = EF$ ( $EKLF$ — параллелограмм), а $EF < MN$ . Противоположные стороны $KL$ и $MN$ параллельны и не равны: $MKLN$ — трапеция.
б) $MN = \frac{10 + 8}{2} = 9$ . $ME = FN = \frac{BC}{2} = 4$ как средние линии треугольников $ABC$ и $DBC$ , поэтому $KL = EF = 9 - 8 = 1$ .
$\frac{AE}{AO} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 10} = \frac{9}{10}$ , поэтому $EK = \frac{9}{10} SO = 7{,}2$ .
$SO \perp AD$ , а $EK \parallel SO$ и $MN \parallel AD$ , поэтому $EK \perp MN$ : $EK$ — высота трапеции. $S = \frac{9 + 1}{2} \cdot 7{,}2 = 36$ . Ответ: 36.

Сечение, перпендикулярное прямой или плоскости

Плоскость, перпендикулярная прямой $a$ , содержит все прямые через свою точку, перпендикулярные $a$ . Найдите две такие прямые: они задают сечение. Например, в правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$ , поэтому плоскость через центр основания, перпендикулярная ребру $SC$ , содержит $BD$ (пример).

Плоскость, перпендикулярная плоскости $\alpha$ , содержит перпендикуляр к $\alpha$ из каждой своей точки. Опустите перпендикуляр из точки сечения на $\alpha$ : его основание тоже лежит в сечении. Через прямую, которая не перпендикулярна $\alpha$ , проходит ровно одна плоскость, перпендикулярная $\alpha$ . Поэтому плоскость, которую вы нашли через эту прямую, и есть сечение.

C_1K

перпендикулярна грани

ABB_1A_1

, поэтому плоскость

MKC_1

перпендикулярна этой грани.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В правильной треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $AM = 5 MA_{1} , A_{1} K = KB_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости  $ABB_{1} .$
а)  Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_{1} .$
б)  Найдите площадь сечения призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $\alpha ,$ если все ребра призмы равны 12.

Решение

а) $K$ — середина $A_1B_1$ , поэтому медиана $C_1K$ правильного треугольника $A_1B_1C_1$ — высота: $C_1K \perp A_1B_1$ .
Ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, поэтому $C_1K \perp AA_1$ . По признаку $C_1K \perp (ABB_1)$ .
Плоскость $MKC_1$ проходит через перпендикуляр $C_1K$ к грани, поэтому она перпендикулярна грани. Прямая $MK$ лежит в грани и не перпендикулярна ей. Через $MK$ проходит только одна плоскость, перпендикулярная грани, значит, $\alpha$ — это плоскость $MKC_1$ . Она проходит через $C_1$ .
б) Сечение — треугольник $MKC_1$ . $C_1K \perp (ABB_1)$ , поэтому $C_1K \perp MK$ , и треугольник прямоугольный.
$MA_1 = \frac16 \cdot 12 = 2$ , $A_1K = 6$ , $MK = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10}$ . $C_1K = \frac{\sqrt3}{2} \cdot 12 = 6\sqrt3$ .
$S = \frac12 \cdot C_1K \cdot MK = \frac12 \cdot 6\sqrt3 \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{30}$ . Ответ: $6\sqrt{30}$ .

Плоскость проходит через вершину

Чтобы доказать, что плоскость проходит через вершину, постройте сторону сечения от известных точек до ребра, на котором лежит вершина. Затем вычислите подобием, где эта сторона пересекает ребро. Если получилась вершина, плоскость через неё проходит.

Другой путь — показать, что прямая через вершину лежит в плоскости: она проходит через точку плоскости и параллельна прямой этой плоскости. Если плоскость задана условием перпендикулярности, помогает единственность такой плоскости, как в примере выше.

Пример

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 4$ , $AD = 6$ , $AA_1 = 6$ . Точка $E$ — середина ребра $AA_1$ , точка $F$ лежит на ребре $BB_1$ , точка $T$ — на ребре $B_1C_1$ , причём $B_1F : FB = 1 : 2$ , $B_1T : TC_1 = 2 : 1$ . Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$ .

Стороны треугольников

EA_1D_1

FB_1T

параллельны, поэтому треугольники подобны.

1. $F$ и $T$ лежат в грани $BB_1C_1C$ , поэтому $FT$ — сторона сечения. $B_1F = \frac13 \cdot 6 = 2$ , $B_1T = \frac23 \cdot 6 = 4$ .
2.Грань $AA_1D_1D$ параллельна грани $BB_1C_1C$ . Сечение пересекает её по прямой через $E$ , параллельной $FT$ . Пусть эта прямая пересекает прямую $A_1D_1$ в точке $G$ .
3.Стороны треугольников $EA_1G$ и $FB_1T$ параллельны, поэтому треугольники подобны: $\frac{A_1G}{A_1E} = \frac{B_1T}{B_1F} = \frac42 = 2$ .
4. $A_1E = 3$ , поэтому $A_1G = 6 = A_1D_1$ . Точка $G$ совпадает с $D_1$ : плоскость $EFT$ проходит через $D_1$ .

Вид сечения

Вид сечения доказывают по его сторонам. Параллельные стороны дают параллельные грани и прямые, которым сечение параллельно. Равные стороны дают равные прямоугольные треугольники на гранях. Прямой угол дают стороны, параллельные перпендикулярным прямым.

Для трапеции мало доказать, что две стороны параллельны: покажите, что они не равны. Без доказанного вида нельзя брать формулу площади этой фигуры.

Что доказать для каждого вида сечения

Вид сечения	Что доказать
Трапеция	две стороны параллельны и не равны
Равнобедренная трапеция	трапеция, боковые стороны равны
Параллелограмм	две пары параллельных сторон
Прямоугольник	параллелограмм, соседние стороны перпендикулярны
Ромб	параллелограмм, соседние стороны равны
Равнобедренный треугольник	две стороны равны

A_1M = BM

: треугольник

A_1BM

равнобедренный,

MH

— его высота.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В правильной треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ известно, что $AB = 2 .$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_{1}$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_{1} .$
а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна 6.

Решение

а) Все три вершины сечения даны, его стороны $A_1B$ , $BM$ и $MA_1$ лежат в гранях. Сечение — треугольник $A_1BM$ .
Прямоугольные треугольники $A_1C_1M$ и $BCM$ равны по двум катетам: $C_1M = CM$ , $A_1C_1 = BC$ . Поэтому $A_1M = BM$ , и треугольник $A_1BM$ равнобедренный.
б) Пусть $CM = x$ , тогда высота призмы $2x$ . $BM^2 = 2^2 + x^2 = 4 + x^2$ , $A_1B^2 = AB^2 + AA_1^2 = 4 + 4x^2$ .
Медиана $MH$ к основанию $A_1B$ — высота: $MH^2 = BM^2 - \left(\frac{A_1B}{2}\right)^2 = 4 + x^2 - (1 + x^2) = 3$ , $MH = \sqrt3$ .
$S = \frac12 \cdot A_1B \cdot MH = 6$ , поэтому $A_1B = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3$ .
$4 + 4x^2 = 48$ , $x^2 = 11$ . Высота призмы $2x = 2\sqrt{11}$ . Ответ: $2\sqrt{11}$ .

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать