Куб и прямоугольный параллелепипед

Объём прямоугольного параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту: $V = ab \cdot c = abc$. Если известны объём и два измерения, третье равно $c = \frac{V}{ab}$.

Если параллелепипед описан около цилиндра или шара, его рёбра выражают через радиус: цилиндр или шар в параллелепипеде.

Поверхность параллелепипеда — шесть прямоугольников, по два равных: две грани $a \times b$, две $b \times c$ и две $a \times c$. Поэтому $S = 2(ab + bc + ac)$.

На рисунке видны только три грани. Не забудьте удвоить: у каждой видимой грани есть равная ей невидимая.

Диагональ параллелепипеда соединяет две вершины, которые не лежат в одной грани, например $B$ и $D_1$. Сначала найдите диагональ основания из прямоугольного треугольника $BAD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2$ (теорема Пифагора). Ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию, поэтому треугольник $BDD_1$ тоже прямоугольный: $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$.

Вместе это $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Корень извлекайте один раз, в конце: $BD^2$ можно не превращать в корень. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь (формат ответа), поэтому сумма квадратов обычно оказывается точным квадратом.

Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Например, $AC_1$ и $A_1C$ — диагонали прямоугольника $AA_1C_1C$.

У куба все рёбра равны $a$, а все грани — равные квадраты. Поэтому $V = a^3$, $S = 6a^2$ и $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$, то есть $d = a\sqrt{3}$.

Если дан объём, ребро равно $\sqrt[3]{V}$. Если дана диагональ, $a^2 = \frac{d^2}{3}$. Найдите ребро или его квадрат, потом нужную величину. Во сколько раз меняются объём и поверхность, когда ребро увеличивают, — в подобных телах.