тема 2 из 11

Геометрическая прогрессия

В геометрической прогрессии каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$ . Член с номером $n$ равен $b_1 q^{n-1}$ , а сумму первых $n$ членов находят по одной формуле. В экономической задаче так складывают степени множителя $b$ : $1 + b + \ldots + b^{n-1}$ .

Основа для задания13На карте навыков

Геометрическая прогрессия
—В аналитике

Формулы геометрической прогрессии

Последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots$ с $b_1 \ne 0$ , в которой $b_{n+1} = b_n \cdot q$ и $q \ne 0$ , — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$ .

Член с номером $n$ : $b_n = b_1 q^{n-1}$ .
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ .
Сумма первых $n$ членов при $q \ne 1$ : $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ .
При $q = 1$ все члены равны: $S_n = n b_1$ .

Член с номером n

От $b_1$ до $b_n$ — $n - 1$ шагов, и на каждом шаге член умножают на $q$ . Поэтому $b_n = b_1 q^{n-1}$ . Так растёт сумма под сложные проценты: $S, Sb, Sb^2, \ldots$ — прогрессия со знаменателем $b$ .

Пример

$b_1 = 3$ , $q = 2$ . Найдите пятый член прогрессии.

1.От $b_1$ до $b_5$ четыре шага: $b_5 = b_1 q^4$ .
2. $b_5 = 3 \cdot 2^4 = 48$ .

Ответ: $48$

Знаменатель по двум членам

Знаменатель — частное соседних членов: $q = \frac{b_{k+1}}{b_k}$ . Если даны члены через один, их частное равно $q^2$ , и знаменателей два: $q$ и $-q$ . Отношение соседних членов постоянно только в геометрической прогрессии; по нему её и узнают.

Пример

$b_2 = 6$ , $b_4 = 54$ . Найдите знаменатель прогрессии.

1. $b_4 = b_2 q^2$ , поэтому $q^2 = \frac{54}{6} = 9$ .
2. $q = 3$ или $q = -3$ : прогрессии $2, 6, 18, 54$ и $-2, 6, -18, 54$ .

Ответ: $3$ или $-3$

Сумма первых n членов

При $q \ne 1$ сумма $S_n = b_1 + b_1 q + \ldots + b_1 q^{n-1}$ равна $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ . Вывод: умножьте сумму на $q$ и вычтите исходную. Все члены, кроме двух, сократятся: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1$ .

В кредите с равными платежами нужна сумма $1 + b + b^2 + \ldots + b^{n-1} = \frac{b^n - 1}{b - 1}$ : прогрессия с $b_1 = 1$ и $q = b$ . Для двух-трёх слагаемых проще сложить их прямо.

Пример

Найдите сумму $1 + 1{,}2 + 1{,}2^2 + 1{,}2^3$ .

1.Прогрессия: $b_1 = 1$ , $q = 1{,}2$ , $n = 4$ .
2. $1{,}2^4 = 2{,}0736$ .
3. $S_4 = \frac{2{,}0736 - 1}{1{,}2 - 1} = \frac{1{,}0736}{0{,}2} = 5{,}368$ .
4.Проверка: $1 + 1{,}2 + 1{,}44 + 1{,}728 = 5{,}368$ .

Ответ: $5{,}368$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать