Сложные проценты

После начисления $r\%$ сумма равна $100\% + r\%$ прежней, то есть $S \cdot b$, где $b = 1 + \frac{r}{100}$. Примеры: $20\%$ — $b = 1{,}2$, $3\%$ — $b = 1{,}03$, $12{,}5\%$ — $b = 1{,}125$. Основа — увеличение на $p\%$.

В кредитных задачах множитель удобно писать дробью: $1{,}1 = \frac{11}{10}$, $1{,}2 = \frac{6}{5}$, $1{,}25 = \frac{5}{4}$, $1{,}5 = \frac{3}{2}$. Обратный путь: если сумма выросла в $b$ раз, то $r = 100(b - 1)$.

Каждое начисление умножает сумму на $b$, поэтому после $n$ начислений сумма равна $S \cdot b^n$. Суммы $S, Sb, Sb^2, \ldots$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $b$.

Начислений столько, сколько периодов: «каждый январь» — раз в год, «1-го числа каждого месяца» — раз в месяц, и тогда $r$ — процент за месяц. Проценты за годы не складывают: три раза по $10\%$ — это рост в $1{,}1^3 = 1{,}331$ раза, то есть на $33{,}1\%$, а не на $30\%$.

Каждый новый процент считают от значения после прошлого изменения. Поэтому множители перемножают: рост на $20\%$, затем снижение на $20\%$ — это множитель $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$. Величина стала меньше исходной на $4\%$, хотя проценты одинаковые.

В кредите за начислением идёт платёж. Долг $S$ сначала растёт до $Sb$, потом уменьшается на платёж $X$: остаётся $Sb - X$. Следующий год начинается с этого остатка: $(Sb - X)b - X$.

Порядок важен: проценты начисляют на долг до платежа, а платёж вычитают из выросшего долга. Как из этого шага строят весь кредит, разобрано в теме «Платёж и остаток долга».