тема 6 из 11

Ставка и сумма кредита из уравнения

Ставку или сумму кредита находят из уравнения. Сначала кредит записывают в буквах: долг на каждый июль, платежи, их сумму. Потом выражение из модели приравнивают к числу из условия и решают уравнение. Если в условии «не менее» или «меньше», получается неравенство, а ответ — ближайшее подходящее целое число.

Главная тема в задании13На карте навыков

Нахождение ставки или суммы кредита из уравнения
—В аналитике

Модель кредита в буквах, число из условия — уравнение

Неизвестное (ставка $r$ или кредит $S$ ) входит в модель кредита. Известное число из условия даёт уравнение для него.

Обозначьте $b = 1 + \frac{r}{100}$ (множитель). Если неизвестен кредит, обозначьте его $S$ .
Запишите долг на каждый июль и каждый платёж через $b$ и $S$ (модель кредита).
Найдите в условии известное число: платежи, сумму выплат, платежи за год, переплату. Приравняйте к нему выражение из модели.
Решите уравнение. Из корней возьмите $b > 1$ , затем $r = 100(b - 1)$ .
Слова «не менее», «меньше» дают неравенство.

Кредит гасят двумя платежами

После первого года долг равен $Sb - X_1$ , после второго — $(Sb - X_1)b - X_2$ (долг после платежа). Кредит погашен, поэтому $Sb^2 - X_1 b - X_2 = 0$ . Это квадратное уравнение относительно $b$ .

Сначала разделите все три числа на общий множитель. Второй корень отрицательный: оставьте корень $b > 1$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите $r ,$ если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 150000 рублей, а во второй год - 180000 рублей.

Правильный ответ

Пояснение

Пусть $b = 1 + \frac{r}{100}$ . После первого года долг $250\,000b - 150\,000$ , после второго $(250\,000b - 150\,000)b - 180\,000 = 0$ .
Разделите на $10\,000$ : $25b^2 - 15b - 18 = 0$ .
$D = 225 + 1800 = 2025 = 45^2$ , $b = \frac{15 + 45}{50} = 1{,}2$ . Второй корень $\frac{15 - 45}{50} = -0{,}6$ не подходит.
$r = 100(1{,}2 - 1) = 20$ . Ответ: 20.

Сумма выплат дана: ставка из линейного уравнения

Если долг убывает по заданному правилу, сумма выплат равна кредиту плюс проценты. Проценты равны $\frac{r}{100}$ , умноженному на сумму долгов, на которые их начисляли (сумма выплат). Долги заданы графиком и не зависят от $r$ . Поэтому уравнение линейное: $\frac{r}{100} = \frac{\text{сумма выплат} - S}{\text{сумма долгов}}$ .

Выпишите долг на каждый июль от взятия кредита до последнего ненулевого. Если долг убывает равномерно на двух участках с разным шагом, каждый участок — своя прогрессия.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года ( $r$ - целое число);
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите $r .$

Правильный ответ

Пояснение

С 2027 по 2031 год долг убывает от 800 до 200 тыс. рублей, на 120 тыс. в год: 800, 680, 560, 440, 320, 200.
С 2032 по 2036 год — от 200 до 0, на 40 тыс. в год: 160, 120, 80, 40, 0.
Проценты начисляют на долги 800, 680, 560, 440, 320, 200, 160, 120, 80, 40. Их сумма $\frac{(800 + 320) \cdot 5}{2} + \frac{(200 + 40) \cdot 5}{2} = 2800 + 600 = 3400$ .
$800 + \frac{r}{100} \cdot 3400 = 1480$ , откуда $\frac{r}{100} = \frac{680}{3400} = 0{,}2$ . Ответ: 20.

Сумма выплат дана: найдите кредит

Если ставка дана, а кредит $S$ неизвестен, выразите все долги через $S$ и сложите их (долг убывает до остатка). Сумма долгов содержит $S$ , поэтому $S$ стоит в обеих частях уравнения «сумма выплат $= S$ + проценты». Уравнение линейное: соберите слагаемые с $S$ в одной части.

Пример

15 декабря планируется взять кредит на 11 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по 14-е число каждого месяца выплачивают часть долга. 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг на 40 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. К 15-му числу 11-го месяца кредит будет погашен. Общая сумма выплат — 1131 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Ответ дайте в тысячах рублей.

1.Долг в день взятия кредита и на 15-е число месяцев с 1-го по 10-й: $S, S - 40, \ldots, S - 400$ . Это 11 значений, их сумма $11S - 40 \cdot (1 + 2 + \ldots + 10) = 11S - 2200$ .
2.Проценты: $0{,}03(11S - 2200) = 0{,}33S - 66$ .
3. $S + 0{,}33S - 66 = 1131$ , $1{,}33S = 1197$ , $S = 900$ .

Ответ: $900$

Платежи за один год дают ставку или кредит

Сумма платежей за календарный год — это 12 уменьшений долга плюс $\frac{r}{100}$ от суммы 12 долгов на начало этих месяцев (платежи за год). Ставка стоит только множителем при сумме долгов, поэтому $r$ находят из линейного уравнения.

Если неизвестен кредит, обе части суммы пропорциональны $S$ : сумма за год равна $S$ , умноженному на число. Найдите это число и разделите на него сумму из условия.

Пример

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на 36 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по 14-е число каждого месяца выплачивают одним платежом часть долга. 15-го числа каждого месяца долг на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Чему равно $A$ , если общая сумма платежей в 2029 году составит 12,78 млн рублей?

1.Платежи 2029 года — месяцы с 25-го по 36-й. Долг убывает на $\frac{A}{36}$ в месяц, за 12 месяцев — на $\frac{12A}{36} = \frac{A}{3}$ .
2.Перед 25-м месяцем долг $\frac{12A}{36}$ , перед 36-м — $\frac{A}{36}$ . Сумма 12 долгов: $\frac{A}{36}(12 + 11 + \ldots + 1) = \frac{78A}{36} = \frac{13A}{6}$ .
3.Сумма за год: $\frac{A}{3} + 0{,}01 \cdot \frac{13A}{6} = \frac{2A + 0{,}13A}{6} = 0{,}355A$ .
4. $0{,}355A = 12{,}78$ , $A = 36$ .

Ответ: $36$

Равные платежи: кредит по сумме выплат или переплате

При $n$ равных платежах $X$ кредит равен $S = \frac{X(b^{n-1} + \ldots + b + 1)}{b^n}$ (равные платежи). Если дана сумма выплат $T$ , то $X = \frac{T}{n}$ , и кредит находят по этой формуле.

Если сумма выплат на $\Delta$ больше кредита, то $nX - S = \Delta$ . Подставьте $S = nX - \Delta$ в уравнение кредита и найдите $X$ . Прочтите вопрос: спрашивают кредит $nX - \Delta$ или всю сумму выплат $nX$ . Считать удобно с множителем-дробью.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Правильный ответ

182000

Пояснение

$b = 1{,}2$ , три равных платежа $X$ : $S \cdot 1{,}2^3 = X(1{,}2^2 + 1{,}2 + 1)$ , то есть $1{,}728S = 3{,}64X$ .
Сумма выплат на 77 200 больше кредита: $3X - S = 77\,200$ , поэтому $S = 3X - 77\,200$ .
$1{,}728(3X - 77\,200) = 3{,}64X$ : $5{,}184X - 3{,}64X = 133\,401{,}6$ , $1{,}544X = 133\,401{,}6$ , $X = 86\,400$ .
$S = 3 \cdot 86\,400 - 77\,200 = 182\,000$ . Ответ: 182000.

Два варианта погашения одного кредита

Если один кредит можно погасить двумя способами, запишите два уравнения с одним и тем же $S$ . Разделите одно на другое: $S$ сократится, и останется уравнение только для $b$ . Для четырёх и двух равных платежей помогает разложение $b^3 + b^2 + b + 1 = (b + 1)(b^2 + 1)$ .

Пример

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года выплачивают одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 156 250 рублей, кредит будет погашен за 4 года, а если по 256 250 рублей — за 2 года. Найдите $r$ .

1.Четыре платежа: $Sb^4 = 156\,250(b^3 + b^2 + b + 1) = 156\,250(b + 1)(b^2 + 1)$ .
2.Два платежа: $Sb^2 = 256\,250(b + 1)$ .
3.Разделите первое уравнение на второе: $b^2 = \frac{156\,250(b^2 + 1)}{256\,250}$ , то есть $256\,250b^2 = 156\,250b^2 + 156\,250$ .
4. $100\,000b^2 = 156\,250$ , $b^2 = 1{,}5625$ , $b = 1{,}25$ , $r = 25$ .

Ответ: $25$

Сначала только проценты, потом равные платежи

В годы, когда долг остаётся равным $S$ , платят только проценты $S(b - 1)$ , потом долг гасят двумя равными платежами $\frac{Sb^2}{b + 1}$ (схема). Если неизвестна ставка, сумма выплат $kS(b - 1) + \frac{2Sb^2}{b + 1}$ за $k$ лет процентов и два года равна числу из условия. Умножьте обе части на $b + 1$ : получится квадратное уравнение для $b$ .

Пример

В июле 2026 года планируется взять кредит на четыре года в размере 4,4 млн рублей. Каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года выплачивают одним платежом часть долга. В июле 2027 и 2028 годов долг остаётся равным 4,4 млн рублей. Выплаты в 2029 и 2030 годах равны, к июлю 2030 года долг погашен. Общая сумма выплат равна 7,52 млн рублей. Найдите $r$ .

1.В 2027 и 2028 годах платят только проценты: $2 \cdot 4{,}4(b - 1) = 8{,}8(b - 1)$ .
2.Два равных платежа: $2 \cdot \frac{4{,}4b^2}{b + 1} = \frac{8{,}8b^2}{b + 1}$ .
3. $8{,}8(b - 1) + \frac{8{,}8b^2}{b + 1} = 7{,}52$ . Умножьте на $b + 1$ : $8{,}8(b^2 - 1) + 8{,}8b^2 = 7{,}52(b + 1)$ , то есть $17{,}6b^2 - 7{,}52b - 16{,}32 = 0$ .
4.Умножьте на $6{,}25$ : $110b^2 - 47b - 102 = 0$ . $D = 2209 + 44\,880 = 47\,089 = 217^2$ , $b = \frac{47 + 217}{220} = 1{,}2$ , $r = 20$ .

Ответ: $20$

Платежи даны числами: идите от последнего года

Если даны все платежи, а кредит неизвестен, считайте долг назад. В последний год долг с процентами равен последнему платежу, а до начисления процентов — этому платежу, делённому на $b$ . К долгу прошлого года прибавьте платёж этого года и снова разделите на $b$ . Так вы дойдёте до кредита $S$ .

Если дана сумма всех выплат, последний платёж равен этой сумме минус остальные платежи.

Пример

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года выплачивают одним платежом часть долга. Платежи в 2027 и 2028 годах — по 200 тыс. рублей, к июлю 2029 года долг погашен. Платёж в 2029 году равен 336,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Ответ дайте в тысячах рублей.

1.Долг в июле 2028 года: $336{,}6 : 1{,}1 = 306$ .
2.До платежа 2028 года долг был $306 + 200 = 506$ , до начисления процентов: $506 : 1{,}1 = 460$ . Это долг в июле 2027 года.
3.До платежа 2027 года: $460 + 200 = 660$ , до начисления: $660 : 1{,}1 = 600$ .

Ответ: $600$

Неравенство: наименьшая ставка или целый кредит

Слова «не менее», «не более», «меньше», «превысит» дают неравенство. Решите его как уравнение, затем выберите сторону. Если ответ целый (« $r$ — целое число», «целое число миллионов»), возьмите ближайшее целое, которое удовлетворяет неравенству: при $r \ge 13{,}3$ это 14, при $S < 8{,}3$ это 8. Строгий знак исключает границу: при $S < 8$ ответ 7.

Условие на последний платёж при равномерном убывании долга записывают через последний платёж, условие на каждый платёж — через наибольший из них.

Пример

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 10 лет. Каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года, где $r$ — целое число. С февраля по июнь выплачивают часть долга так, чтобы в июле каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем. Найдите наименьшее $r$ , при котором последний платёж будет не менее 0,68 млн рублей.

1.Долг убывает на $\frac{6}{10} = 0{,}6$ млн в год. Перед последним годом долг $0{,}6$ млн, последний платёж $0{,}6b$ .
2. $0{,}6b \ge 0{,}68$ , $b \ge \frac{0{,}68}{0{,}6} = 1\frac{2}{15}$ , то есть $r \ge 13\frac{1}{3}$ .
3.Наименьшее целое $r$ , которое удовлетворяет неравенству, — 14.

Ответ: $14$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать