тема 8 из 11

Срок кредита

Срок кредита — число лет или месяцев, за которое долг станет нулём. Если долг убывает равномерно, переплата пропорциональна сроку плюс один, и срок находят из линейного уравнения. Если платёж каждый год один и тот же, срок находят перебором: считают долг год за годом.

Реже в задании13На карте навыков

Срок кредита
—В аналитике

Срок — неизвестное в сумме выплат или в долге по годам

Срок $n$ находят из того, что известно о выплатах.

Дана сумма выплат, долг убывает равномерно: переплату приравняйте к процентам, они пропорциональны $n + 1$ .
Долг $n$ периодов убывает до остатка, потом гасится: проценты начисляют на $n + 1$ долгов от $S$ до остатка.
Дан платёж, одинаковый каждый год: считайте долг по годам, пока он не станет нулём.
Перед ответом проверьте, что спрашивают: $n$ или $n + 1$ , годы или месяцы.

Сумма выплат дана: найдите n

Переплата — это сумма выплат минус кредит. Если за $n$ лет долг убывает равномерно до нуля, проценты начисляют на долги $S, \frac{n-1}{n}S, \ldots, \frac{1}{n}S$ . Поэтому переплата равна $\frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ (переплата).

Приравняйте её к переплате из условия. Получится линейное уравнение для $n + 1$ . Ответ — $n$ : не забудьте вычесть единицу.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Долг убывает до остатка, потом гасится

Если $n$ месяцев долг убывает равномерно от $S$ до остатка $R$ , а в $(n + 1)$ -й месяц гасится полностью, проценты начисляют на $n + 1$ долгов от $S$ до $R$ . Их сумма — $\frac{(S + R)(n + 1)}{2}$ (долг убывает до остатка). Уравнение: $\frac{r}{100} \cdot \frac{(S + R)(n + 1)}{2}$ равно переплате.

Пример

15 декабря планируется взять кредит на 900 тыс. рублей на $n + 1$ месяц. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по 14-е число каждого месяца выплачивают часть долга. 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. 15-го числа $n$ -го месяца долг составит 300 тыс. рублей, к 15-му числу $(n + 1)$ -го месяца кредит будет погашен. Общая сумма выплат — 1068 тыс. рублей. Найдите $n$ .

1.Переплата: $1068 - 900 = 168$ тыс. рублей.
2.Проценты начисляют на $n + 1$ долгов от 900 до 300. Их сумма $\frac{(900 + 300)(n + 1)}{2} = 600(n + 1)$ .
3. $0{,}02 \cdot 600(n + 1) = 168$ , $12(n + 1) = 168$ , $n + 1 = 14$ , $n = 13$ .

Ответ: $13$

Платёж один и тот же: срок перебором

Если каждый год платят одну и ту же сумму $X$ , а срок неизвестен, считайте долг по годам: $D \to Db - X$ (долг после платежа). Срок — первый год, в котором долг с процентами не больше $X$ . Платёж этого года последний, и он может быть меньше $X$ .

Если $X$ не больше процентов первого года $S(b - 1)$ , долг не убывает, и кредит так не погасить.

Пример

В июле планируется взять кредит 500 тыс. рублей. Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года выплачивают 200 тыс. рублей, а в последний год — остаток долга. За сколько лет будет погашен кредит?

1.Год 1: $500 \cdot 1{,}2 - 200 = 400$ .
2.Год 2: $400 \cdot 1{,}2 - 200 = 280$ .
3.Год 3: $280 \cdot 1{,}2 - 200 = 136$ .
4.Год 4: $136 \cdot 1{,}2 = 163{,}2 \le 200$ . Последний платёж — 163,2 тыс. рублей, кредит погашен.

Ответ: $4$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать