тема 10 из 20

Замена переменной

Если уравнение или неравенство целиком записывается через одно выражение, это выражение обозначают новой буквой $t$ . Получается простое уравнение для $t$ , чаще всего квадратное. Новая переменная принимает не любые значения: $\sin x$ лежит от −1 до 1, а $a^x$ всегда положительно. Корни и промежутки ответа для $t$ вне этих границ отбрасывают, для остальных делают обратную замену.

Часто в задании16Реже в задании14На карте навыков

Замена переменной в уравнениях и неравенствах
—В аналитике

Как сделать замену

Найдите выражение, через которое записывается всё уравнение, и обозначьте его $t$ .

Приведите уравнение к одному выражению: одно основание у степеней, одна функция одного угла, один логарифм.
Обозначьте выражение буквой $t$ . Запишите, какие значения может принимать $t$ .
Решите уравнение для $t$ . Корни вне допустимых значений отбросьте.
Сделайте обратную замену: каждый корень $t$ даёт своё уравнение для $x$ .
В неравенстве порядок тот же: решите неравенство для $t$ , потом вернитесь к $x$ .

Значения новой переменной

Замена	Значения t	Почему
$t = \sin x$ , $t = \cos x$	$-1 \le t \le 1$	координаты точки единичной окружности
$t = a^x$	$t > 0$	степень положительного числа положительна
$t = a^{\sin x}$ , $a > 1$	$\frac{1}{a} \le t \le a$	показатель лежит от −1 до 1
$t = x^2$ , $t = \|x\|$ , $t = \sqrt{x}$	$t \ge 0$	квадрат, модуль и корень не бывают отрицательными
$t = \log_a x$ , $t = \operatorname{tg} x$	любое число	у логарифма своё условие: $x > 0$

Корни t и границы замены

t^2 - 3t - 4 = 0

t = 2^x:\ t > 0

t_1 = -1:\ 2^x > 0,\ \text{корней нет}

t_2 = 4\ \Rightarrow\ 2^x = 4 = 2^{2}:\ x = 2

Корень

t_1

лежит вне границ и не даёт ни одного

x

Зелёная полоса — значения, которые принимает новая переменная. Корень

t

вне полосы не даёт ни одного

x

. Выберите замену и двигайте корни

t_1

t_2

Тригонометрическая замена

Если уравнение записано через одну функцию одного угла, обозначьте её $t$ : $t = \sin x$ или $t = \cos x$ , причём $-1 \le t \le 1$ . Корень вне этого отрезка отбросьте. Как привести уравнение к одной функции, разобрано в теме Сведение к квадратному уравнению.

После замены может получиться и уравнение третьей степени. Его раскладывают на множители группировкой.

Пример

а) Решите уравнение $2\cos^3 x + \sqrt{3}\cos^2 x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ .

1.Пусть $t = \cos x$ , $-1 \le t \le 1$ : $2t^3 + \sqrt{3}t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0$ .
2.Группировка: $t^2(2t + \sqrt{3}) + (2t + \sqrt{3}) = 0$ , то есть $(2t + \sqrt{3})(t^2 + 1) = 0$ .
3. $t^2 + 1 > 0$ при любом $t$ . Остаётся $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ , это число лежит в границах.
4.Обратная замена: $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ , серии $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
5.б) Двойное неравенство $-2\pi \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le -\frac{\pi}{2}$ даёт $-\frac{17}{12} \le n \le -\frac{2}{3}$ , $n = -1$ : $x = -\frac{7\pi}{6}$ .
6. $-2\pi \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le -\frac{\pi}{2}$ даёт $-\frac{7}{12} \le n \le \frac{1}{6}$ , $n = 0$ : $x = -\frac{5\pi}{6}$ .

Ответ: а) $\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}$

Показательная замена

Если в уравнении есть $a^{2x}$ и $a^x$ , обозначьте $t = a^x$ . Тогда $a^{2x} = t^2$ , причём $t > 0$ . Сначала приведите степени к одному основанию и вынесите числа из показателя по свойствам степени: $4^x = (2^x)^2$ , $3^{x+2} = 9 \cdot 3^x$ , $2^{5-x} = \frac{32}{2^x}$ .

Отрицательный корень $t$ и $t = 0$ отбросьте: $a^x$ всегда больше нуля. Подходящий корень возвращают по определению логарифма: $a^x = t$ значит $x = \log_a t$ .

Пример

а) Решите уравнение $2^{2x+1} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_3 5; \log_3 10]$ .

1. $2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2$ . Пусть $t = 2^x$ , $t > 0$ : $2t^2 - 7t - 4 = 0$ .
2. $D = 49 + 32 = 81$ , $t = \frac{7 \pm 9}{4}$ : $t = 4$ или $t = -\frac{1}{2}$ .
3. $t = -\frac{1}{2} < 0$ : корней нет.
4. $2^x = 4 = 2^2$ : $x = 2$ .
5.б) $2 = \log_3 9$ , и $5 < 9 < 10$ . Основание 3 больше 1, поэтому $\log_3 5 < 2 < \log_3 10$ : корень лежит на отрезке.

Ответ: а) $2$ ; б) $2$

Взаимно обратные выражения

Если произведение двух выражений равно 1, обозначьте одно из них $t$ , тогда другое равно $\frac{1}{t}$ . Такие пары: $a^x$ и $a^{-x}$ , $\frac{x-2}{x+2}$ и $\frac{x+2}{x-2}$ , $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ и $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ . Уравнение $t + \frac{1}{t} = c$ умножьте на $t \ne 0$ : получится квадратное.

Если в уравнении есть и сумма $a + \frac{b}{a}$ , и сумма квадратов $a^2 + \frac{b^2}{a^2}$ , обозначьте сумму $t$ . Тогда $a^2 + \frac{b^2}{a^2} = t^2 - 2b$ по квадрату суммы.

Пример

а) Решите уравнение $16^{\sin x} + 16^{\sin(x + \pi)} = \frac{17}{4}$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ .

1.Формула приведения: $\sin(x + \pi) = -\sin x$ , поэтому $16^{\sin x} + 16^{-\sin x} = \frac{17}{4}$ .
2.Пусть $t = 16^{\sin x}$ , $t > 0$ . Тогда $16^{-\sin x} = \frac{1}{t}$ и $t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$ .
3.Умножьте на $4t$ : $4t^2 - 17t + 4 = 0$ , $t = 4$ или $t = \frac{1}{4}$ .
4. $16^{\sin x} = 4 = 16^{\frac{1}{2}}$ : $\sin x = \frac{1}{2}$ . $16^{\sin x} = \frac{1}{4} = 16^{-\frac{1}{2}}$ : $\sin x = -\frac{1}{2}$ .
5.Четыре точки $\pm\frac{\pi}{6}$ и $\pi \pm \frac{\pi}{6}$ записывают одной серией: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
6.б) На окружности отрезок — дуга от $\frac{3\pi}{2}$ до $3\pi$ . На ней лежат $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ , $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ и $3\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$ .

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}$

Логарифмическая замена

Запись $\log_a^2 x$ значит $(\log_a x)^2$ . Если логарифм стоит в квадрате, обозначьте $t = \log_a x$ . Здесь $t$ — любое число, но под логарифмом должно стоять положительное выражение (ОДЗ). Обратная замена — по определению логарифма: $\log_a x = t$ значит $x = a^t$ .

Пример

а) Решите уравнение $2\log_9^2 x - 3\log_9 x + 1 = 0$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{10}; \sqrt{99}]$ .

1.ОДЗ: $x > 0$ . Пусть $t = \log_9 x$ : $2t^2 - 3t + 1 = 0$ .
2. $D = 9 - 8 = 1$ , $t = \frac{3 \pm 1}{4}$ : $t = 1$ или $t = \frac{1}{2}$ .
3. $\log_9 x = 1$ : $x = 9$ . $\log_9 x = \frac{1}{2}$ : $x = 9^{\frac{1}{2}} = 3$ . Оба корня положительны.
4.б) $3 = \sqrt{9} < \sqrt{10}$ : корень 3 лежит левее отрезка. $9 = \sqrt{81}$ , и $\sqrt{10} < \sqrt{81} < \sqrt{99}$ : корень 9 лежит на отрезке.

Ответ: а) $3;\ 9$ ; б) $9$

Замена t = x²

Если в уравнении есть только $x^4$ , $x^2$ и число, обозначьте $t = x^2$ , причём $t \ge 0$ . Каждый положительный корень $t$ даёт два корня $x = \pm\sqrt{t}$ . Произведение четырёх скобок сначала перемножают по парам так, чтобы получилась разность квадратов: $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$ .

После показательной замены тоже может получиться $t^4$ и $t^2$ : из $2^{3x} - 18 \cdot 2^x + \frac{32}{2^x} = 0$ после умножения на $t = 2^x$ выходит $t^4 - 18t^2 + 32 = 0$ . Тогда делают вторую замену $y = t^2$ .

Пример

а) Решите уравнение $(x + 5)(x - 3)(x + 3)(x - 5) = 161$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 6]$ .

1.Перемножьте пары: $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$ , $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$ . Уравнение: $(x^2 - 25)(x^2 - 9) = 161$ .
2.Пусть $t = x^2$ , $t \ge 0$ : $t^2 - 34t + 225 = 161$ , то есть $t^2 - 34t + 64 = 0$ .
3. $D = 1156 - 256 = 900$ , $t = \frac{34 \pm 30}{2}$ : $t = 32$ или $t = 2$ . Оба корня положительны.
4. $x^2 = 2$ : $x = \pm\sqrt{2}$ . $x^2 = 32$ : $x = \pm 4\sqrt{2}$ .
5.б) Отрицательные корни не лежат на $[0; 6]$ . Оба положительных корня лежат: $\sqrt{2} < 6$ и $4\sqrt{2} = \sqrt{32} < \sqrt{36} = 6$ .

Ответ: а) $\pm\sqrt{2};\ \pm 4\sqrt{2}$ ; б) $\sqrt{2};\ 4\sqrt{2}$

Степени с разными основаниями

Если в уравнении стоят $9^x$ , $6^x$ и $4^x$ , заметьте: $9^x = (3^x)^2$ , $4^x = (2^x)^2$ , $6^x = 3^x \cdot 2^x$ . Разделите уравнение на $4^x > 0$ : корни не потеряются. Получится квадратное уравнение для $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ , $t > 0$ .

Пример

а) Решите уравнение $3 \cdot 9^{x+1} - 5 \cdot 6^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x} = 0$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ .

1.Вынесите числа из показателей: $27 \cdot 9^x - 30 \cdot 6^x + 8 \cdot 4^x = 0$ .
2.Разделите на $4^x$ : $27\left(\frac{9}{4}\right)^x - 30\left(\frac{3}{2}\right)^x + 8 = 0$ .
3.Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ , $t > 0$ : $27t^2 - 30t + 8 = 0$ , $t = \frac{2}{3}$ или $t = \frac{4}{9}$ .
4. $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$ : $x = -1$ . $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{4}{9} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$ : $x = -2$ .
5.б) $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ . Корень $-1$ лежит на отрезке, корень $-2 < -1{,}57$ — нет.

Ответ: а) $-2;\ -1$ ; б) $-1$

Обратная замена

Каждый подходящий корень $t$ даёт своё уравнение для $x$ . Решите каждое и объедините ответы. Не останавливайтесь на $t$ : ответ задачи — значения $x$ .

Уравнение для $x$ может не иметь решений, даже если $t$ в границах. После замены $t = \frac{x + 2}{2x - 1}$ корень $t = \frac{1}{2}$ даёт $2x + 4 = 2x - 1$ , то есть $4 = -1$ : такого $x$ нет. Если $x$ стоит в знаменателе, проверьте корни по ОДЗ.

Замена в неравенстве

В неравенстве замена идёт тем же путём: обозначьте выражение $t$ и решите неравенство для $t$ целиком, обычно методом интервалов. Условие на $t$ из таблицы — часть решения: для $t = a^x$ пересеките ответ с $t > 0$ . Промежуток для $t$ вне этих границ не даёт ни одного $x$ .

Условие $t > 0$ отбрасывает значения $t \le 0$ . К ответу для $x$ оно ничего не добавляет: $3^x > 0$ при любом $x$ , поэтому $0 < 3^x \le 3$ равносильно $x \le 1$ . На знаменатель с $t$ не умножают: его знак неизвестен.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство $3^{x} + \frac{243}{3^{x} - 84} \leq 0 .$

Решение

Пусть $t = 3^x$ , $t > 0$ : $t + \frac{243}{t - 84} \le 0$ .
Общий знаменатель: $\frac{t^2 - 84t + 243}{t - 84} \le 0$ . Корни числителя 3 и 81: $3 \cdot 81 = 243$ , $3 + 81 = 84$ . Неравенство: $\frac{(t - 3)(t - 81)}{t - 84} \le 0$ .
Точки 3 и 81 закрашены, точка 84 выколота. Правее 84 плюс, на $(81; 84)$ минус, на $(3; 81)$ плюс, левее 3 минус.
Решение для $t$ : $t \le 3$ или $81 \le t < 84$ . С условием $t > 0$ первая часть сужается до $0 < t \le 3$ .
Обратная замена: $0 < 3^x \le 3$ даёт $x \le 1$ ; $3^4 \le 3^x < 84$ даёт $4 \le x < \log_3 84$ .
$\log_3 84 > \log_3 81 = 4$ , поэтому второй промежуток не пустой. Ответ: $(-\infty; 1] \cup [4; \log_3 84)$ .

Обратная замена в неравенстве

Ответ для $t$ из двух лучей, например $t \le 1$ или $t \ge 4$ , даёт два неравенства для $x$ . Решите каждое и объедините ответы. Промежуток $a < t \le b$ даёт двойное неравенство: оба условия выполняются вместе. Так $0 < \log_3 x \le 4$ даёт $1 < x \le 81$ .

Каждое неравенство для $x$ решают по монотонности: при основании больше 1 знак сохраняется, при основании меньше 1 меняется (показательные и логарифмические неравенства). Для $t = \log_a f(x)$ учтите ОДЗ: $f(x) > 0$ .

Пример

Решите неравенство $\log_2^2(17 - x^2) - 5\log_2(17 - x^2) + 4 \ge 0$ .

1.ОДЗ: $17 - x^2 > 0$ , то есть $-\sqrt{17} < x < \sqrt{17}$ .
2.Пусть $t = \log_2(17 - x^2)$ : $t^2 - 5t + 4 \ge 0$ . Корни 1 и 4, ветви вверх: $t \le 1$ или $t \ge 4$ .
3. $\log_2(17 - x^2) \le 1$ : с ОДЗ $0 < 17 - x^2 \le 2$ , то есть $15 \le x^2 < 17$ . Отсюда $-\sqrt{17} < x \le -\sqrt{15}$ или $\sqrt{15} \le x < \sqrt{17}$ .
4. $\log_2(17 - x^2) \ge 4$ : $17 - x^2 \ge 16$ , то есть $x^2 \le 1$ и $-1 \le x \le 1$ .
5.Объедините ответы двух неравенств.

Ответ: $(-\sqrt{17}; -\sqrt{15}] \cup [-1; 1] \cup [\sqrt{15}; \sqrt{17})$

Неравенство для t и обратная замена

t^2 - 3t - 4 \ge 0

t = 2^x:\ t > 0

t \in [4;\ +\infty)

x \in [2;\ +\infty)

Один промежуток для

t

лежит вне границ

t > 0

и не даёт ни одного

x

Зелёная полоса — значения новой переменной. Оранжевая часть оси — решение для

t

внутри полосы, только она даёт значения

x

. Выберите замену и знак, двигайте корни

t_1

t_2

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать