тема 2 из 12

Определение логарифма

Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ . Основание $a$ положительно и не равно 1, число $b$ положительно. Чтобы вычислить логарифм, число $b$ записывают степенью основания.

Основа для заданий7 10 12 16Часто в задании8На карте навыков

Определение логарифма
—В аналитике

Что такое логарифм

$\log_a b = c$ значит $a^c = b$ . Здесь $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ : логарифма нуля и отрицательного числа нет.

$\log_a 1 = 0$ , потому что $a^0 = 1$ .
$\log_a a = 1$ , потому что $a^1 = a$ .
$\log_a a^c = c$ .
$a^{\log_a b} = b$ — основное логарифмическое тождество.

Логарифм — число шагов

\log_{2} 8 = 3

a

b

8

2^{\,?} = 8

1 \xrightarrow{\cdot 2} 2 \xrightarrow{\cdot 2} 4 \xrightarrow{\cdot 2} 8

3 шага умножения на

2

\log_a b

— сколько раз нужно умножить единицу на

a

, чтобы получить

b

. Это абсцисса точки, где прямая

y = b

пересекает график

y = a^x

. Шаги влево — деление на

a

, они дают отрицательный логарифм.

Как вычислить логарифм

Логарифм — показатель степени. Чтобы найти $\log_a b$ , ответьте на вопрос: в какую степень нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ ? $\log_2 32 = 5$ , потому что $2^5 = 32$ .

Если $b$ — не целая степень $a$ , запишите оба числа степенями одного числа и приравняйте показатели.

Пример

Найдите $\log_4 8$ .

1.Пусть $\log_4 8 = c$ . Тогда $4^c = 8$ .
2. $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$ , поэтому $2^{2c} = 2^3$ .
3. $2c = 3$ , $c = 1{,}5$ .

Ответ: $1{,}5$

Отрицательный логарифм

Дробь $\frac{1}{a^n}$ — это $a^{-n}$ , поэтому её логарифм отрицателен: $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ . Если основание меньше 1, логарифм числа больше 1 тоже отрицателен.

Пример

Найдите $\log_{\frac{1}{2}} 16$ .

1. $16 = 2^4$ , а $2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ .
2.Поэтому $16 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$ и $\log_{\frac{1}{2}} 16 = -4$ .

Ответ: $-4$

Основание — десятичная дробь

Запишите основание обыкновенной дробью: $0{,}4 = \frac{2}{5}$ , $0{,}7 = \frac{7}{10}$ , $1{,}25 = \frac{5}{4}$ . Перевёрнутая дробь — степень с показателем $-1$ : $\frac{10}{7} = \left(\frac{7}{10}\right)^{-1}$ , поэтому $\log_{0{,}7} \frac{10}{7} = -1$ .

Пример

Найдите $\log_{0{,}4} \frac{125}{8}$ .

1. $0{,}4 = \frac{2}{5}$ .
2. $\frac{125}{8} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ .
3.Поэтому $\log_{0{,}4} \frac{125}{8} = -3$ .

Ответ: $-3$

Корень — дробная степень

Корень запишите степенью с дробным показателем: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ , поэтому $\log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ . Если корень стоит в основании, приравняйте показатели так же.

Пример

Найдите $\log_{\sqrt[6]{13}} 13$ .

1. $\sqrt[6]{13} = 13^{\frac{1}{6}}$ . Пусть логарифм равен $c$ : $\left(13^{\frac{1}{6}}\right)^c = 13^1$ .
2. $\frac{c}{6} = 1$ , $c = 6$ .

Ответ: $6$

Как найти основание

Запишите равенство с логарифмом как степень и найдите основание: $\log_a 2 = 1$ значит $a^1 = 2$ , то есть $a = 2$ . Как работает отрицательный показатель, смотрите в теме Степень и её свойства.

Пример

$\log_a 4 = -2$ . Найдите $a$ .

1.По определению $a^{-2} = 4$ , то есть $\frac{1}{a^2} = 4$ .
2. $a^2 = \frac{1}{4}$ . Основание положительно, поэтому $a = \frac{1}{2}$ .

Ответ: $\frac{1}{2}$

Логарифм не вычисляется

$\log_3 0{,}9$ и $\log_3 10$ по отдельности не найти: $0{,}9$ и $10$ — не степени числа 3. Такие логарифмы сначала объединяют по свойствам логарифмов: $\log_3 0{,}9 + \log_3 10 = \log_3 9 = 2$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать