тема 9 из 14

Квадратные и дробно-рациональные неравенства

Знак квадратного трёхчлена видно по параболе: при $a > 0$ он отрицателен между корнями и положителен вне их. Если корней нет, трёхчлен при любом $x$ имеет знак старшего коэффициента. Дробное неравенство приводят к сравнению одной дроби с нулём и решают методом интервалов. Умножать неравенство на знаменатель с неизвестным знаком нельзя.

Часто в заданиях16 17На карте навыков

Квадратные и дробно-рациональные неравенства
—В аналитике

Квадратное и дробное неравенство

Квадратное неравенство решают по параболе, дробное — методом интервалов после переноса всех слагаемых в одну часть.

Найдите корни трёхчлена $ax^2 + bx + c$ через дискриминант.
При $a > 0$ трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их. При $a < 0$ — наоборот.
Если $D < 0$ , знак трёхчлена при любом $x$ совпадает со знаком $a$ . Если $D = 0$ , трёхчлен — полный квадрат $a(x - x_0)^2$ .
В дробном неравенстве перенесите всё в левую часть, приведите к общему знаменателю и разложите числитель и знаменатель на множители.
Решите неравенство вида $\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0$ методом интервалов. На знаменатель не умножайте.

Квадратное неравенство по параболе

График $y = ax^2 + bx + c$ — парабола, а корни трёхчлена — точки её пересечения с осью $x$ . При $a > 0$ ветви направлены вверх: между корнями парабола лежит ниже оси, вне корней — выше. Поэтому $ax^2 + bx + c < 0$ между корнями и $ax^2 + bx + c > 0$ вне их. При $a < 0$ знаки меняются местами.

При $a < 0$ удобно умножить неравенство на $-1$ и сменить знак неравенства: $25 - x^2 > 0$ равносильно $x^2 - 25 < 0$ , то есть $-5 < x < 5$ .

Пример

Решите неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ .

Парабола

y = x^2 - 2x - 3

лежит выше оси

x

левее

-1

и правее 3.

1. $D = 4 + 12 = 16$ , $x = \frac{2 \pm 4}{2}$ : $x_1 = -1$ , $x_2 = 3$ .
2. $a = 1 > 0$ : ветви вверх, трёхчлен положителен вне корней.
3.Неравенство нестрогое: корни входят в ответ.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$

Знак трёхчлена по параболе

x^2 - 2x - 3 < 0

D = 16,\ x_1 = -1,\ x_2 = 3

x \in (-1;\ 3)

Ветви вверх: трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними.

Для знака

>

ответ — точки оси, над которыми парабола выше оси, для знака

<

— ниже. Корни входят в ответ только в нестрогом неравенстве. Двигайте вершину, меняйте ветви и знак неравенства.

Трёхчлен без корней и полный квадрат

Если $D < 0$ , парабола не пересекает ось $x$ . При $a > 0$ она целиком лежит выше оси, поэтому $x^2 + x + 1 > 0$ и $8x^2 + 7 > 0$ при любом $x$ . Такой множитель не влияет на знак выражения, и условие «он больше нуля» выполняется всегда.

Если $D = 0$ , трёхчлен — полный квадрат: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$ . Он положителен везде, кроме своего корня, а в корне равен нулю. Это множитель чётной степени: неравенство $(2x - 1)^2 \le 0$ верно только при $x = \frac{1}{2}$ .

Пример

Решите неравенство $(x^2 + x + 1)(x^2 - 6x + 9) \le 0$ .

1. $x^2 + x + 1$ : $D = 1 - 4 = -3 < 0$ и $a = 1 > 0$ . Множитель положителен при любом $x$ . Разделите на него обе части: знак неравенства сохранится.
2. $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ , $D = 0$ .
3. $(x - 3)^2 \le 0$ . Квадрат не бывает отрицательным, поэтому остаётся $(x - 3)^2 = 0$ , то есть $x = 3$ .

Ответ: $3$

Дробное неравенство: всё в одну часть

Неравенство с дробями сначала приводят к виду $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ или к тому же виду с другим знаком. Перенесите все слагаемые в левую часть, справа останется ноль. Приведите к общему знаменателю и упростите числитель. Разложите числитель и знаменатель на множители и решите неравенство методом интервалов.

Пример

Решите неравенство $\frac{x + 5}{x - 1} \ge 2$ .

1.Перенесите 2 влево: $\frac{x + 5}{x - 1} - 2 \ge 0$ .
2.Общий знаменатель: $\frac{x + 5 - 2(x - 1)}{x - 1} = \frac{7 - x}{x - 1} \ge 0$ .
3.Нули: $x = 7$ — нуль числителя, точка закрашена. $x = 1$ — нуль знаменателя, точка выколота.
4.При $x > 7$ числитель отрицателен, знаменатель положителен: минус. Дальше знаки чередуются: на $(1; 7)$ плюс, на $(-\infty; 1)$ минус.

Ответ: $(1; 7]$

Нельзя умножать на знаменатель

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется. Знак знаменателя $x - 1$ зависит от $x$ : при $x > 1$ он положителен, при $x < 1$ отрицателен. Поэтому умножать на него нельзя. Из $\frac{x + 5}{x - 1} \ge 2$ умножение даёт $x \le 7$ , но при $x = 0$ левая часть равна $-5$ , и неравенство неверно.

Умножать можно только на выражение, которое положительно при любом допустимом $x$ : $x^2 + 1$ , $2^x$ , $3^x + 4$ . Тогда знак неравенства сохраняется.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство $\frac{1}{3^{x} + 4} \leq \frac{2}{3^{x + 1} - 1} .$

Решение

Пусть $t = 3^x$ , $t > 0$ . Тогда $3^{x+1} = 3t$ : $\frac{1}{t + 4} \le \frac{2}{3t - 1}$ .
Знак $3t - 1$ неизвестен, поэтому крест-накрест умножать нельзя. Перенесите дробь влево: $\frac{1}{t + 4} - \frac{2}{3t - 1} \le 0$ .
Числитель: $3t - 1 - 2(t + 4) = t - 9$ . Неравенство: $\frac{t - 9}{(t + 4)(3t - 1)} \le 0$ .
При $t > 0$ множитель $t + 4$ положителен, его можно отбросить: $\frac{t - 9}{3t - 1} \le 0$ .
Нули: $t = 9$ закрашена, $t = \frac{1}{3}$ выколота. Правее 9 плюс, на $\left(\frac{1}{3}; 9\right)$ минус: $\frac{1}{3} < t \le 9$ .
Обратная замена: $3^{-1} < 3^x \le 3^2$ , то есть $-1 < x \le 2$ .
Ответ: $(-1; 2]$ .

Несколько дробей

Сначала разложите каждый знаменатель на множители: $x^2 - 12x + 27 = (x - 3)(x - 9)$ . Общий знаменатель — произведение всех разных множителей. Каждую дробь домножьте на недостающие множители и сложите числители.

После приведения числитель часто сворачивается в полный квадрат. Тогда в ответе может появиться отдельная точка: в ней стоит множитель чётной степени.

Пример

Решите неравенство $\frac{2x}{x - 9} + \frac{x + 9}{x - 3} + \frac{84}{x^2 - 12x + 27} \le 0$ .

1.Корни $x^2 - 12x + 27$ — числа 3 и 9: их произведение 27, сумма 12. Поэтому $x^2 - 12x + 27 = (x - 3)(x - 9)$ .
2.Общий знаменатель $(x - 3)(x - 9)$ . Числитель: $2x(x - 3) + (x + 9)(x - 9) + 84 = 3x^2 - 6x + 3$ .
3. $3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$ . Неравенство: $\frac{3(x - 1)^2}{(x - 3)(x - 9)} \le 0$ .
4.Точка 1 закрашена, знак в ней не меняется. Точки 3 и 9 выколоты.
5.Правее 9 плюс, на $(3; 9)$ минус, на $(1; 3)$ и на $(-\infty; 1)$ плюс.
6.Подходят интервал $(3; 9)$ и отдельная точка 1.

Ответ: $\{1\} \cup (3; 9)$

Выделение целой части дроби

Если степень числителя не меньше степени знаменателя, выделите целую часть. Запишите числитель как знаменатель, умноженный на многочлен, плюс остаток: $x^2 - 4x + 2 = (x - 3)(x - 1) - 1$ . Тогда $\frac{x^2 - 4x + 2}{x - 3} = x - 1 - \frac{1}{x - 3}$ .

Так поступают, когда в другой части неравенства стоит тот же многочлен: после выделения целых частей он сокращается, и остаются простые дроби. Знаменатели при этом не меняются, поэтому их нули по-прежнему выколоты.

Пример

Решите неравенство $\frac{x^2 - 4x + 2}{x - 3} + \frac{2x - 7}{x - 4} \le x + 1$ .

1. $x^2 - 4x + 2 = (x - 3)(x - 1) - 1$ , поэтому первая дробь равна $x - 1 - \frac{1}{x - 3}$ .
2. $2x - 7 = 2(x - 4) + 1$ , поэтому вторая дробь равна $2 + \frac{1}{x - 4}$ .
3.Неравенство: $x + 1 - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x - 4} \le x + 1$ , то есть $\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 3} \le 0$ .
4.Общий знаменатель: $\frac{(x - 3) - (x - 4)}{(x - 3)(x - 4)} = \frac{1}{(x - 3)(x - 4)} \le 0$ .
5.Числитель положителен, поэтому знаменатель отрицателен: $3 < x < 4$ . Точки 3 и 4 выколоты.

Ответ: $(3; 4)$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать