тема 12 из 14

Логарифм произведения в неравенстве

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей, только если оба множителя положительны. В общем случае $\log_a(fg) = \log_a|f| + \log_a|g|$ , а $\log_a x^2 = 2\log_a|x|$ . Сумму логарифмов сворачивают в один логарифм только после ОДЗ. Иначе в ответ попадают лишние промежутки или из него пропадают решения.

Реже в задании16На карте навыков

Логарифм произведения и ОДЗ
—В аналитике

Преобразования логарифмов в неравенстве

Свойства логарифмов верны для положительных аргументов. В неравенстве ОДЗ записывают до преобразований и проверяют по ней каждый шаг.

ОДЗ — у исходного неравенства. После преобразований она не меняется.
$\log_a f + \log_a g = \log_a(fg)$ и $\log_a f - \log_a g = \log_a \frac{f}{g}$ — там, где $f > 0$ и $g > 0$ .
$\log_a(fg) = \log_a|f| + \log_a|g|$ при $fg > 0$ . Модуль снимают, если ОДЗ даёт знак множителя.
$\log_a f^{2k} = 2k\log_a|f|$ : без модуля теряются решения.
$\log_a(a^m x) = m + \log_a x$ при $x > 0$ .

Сумма логарифмов в неравенстве

Сумму $\log_a f + \log_a g$ сворачивают в $\log_a(fg)$ , разность — в $\log_a \frac{f}{g}$ . Сначала запишите ОДЗ: $f > 0$ и $g > 0$ . У $\log_a(fg)$ область шире: $fg > 0$ и тогда, когда $f < 0$ и $g < 0$ . Если решать свёрнутое неравенство без исходной ОДЗ, в ответ попадут лишние промежутки.

После свёртки сравните аргументы по правилу основания и пересеките решение с ОДЗ. Общий множитель аргументов на ОДЗ часто положителен: на него делят без смены знака.

Пример

Решите неравенство $\log_2 x + \log_2(x - 2) \le 3$ .

1.ОДЗ: $x > 0$ и $x - 2 > 0$ , то есть $x > 2$ .
2.На ОДЗ $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2\left(x(x - 2)\right)$ , а $3 = \log_2 8$ .
3.Основание $2 > 1$ : $x(x - 2) \le 8$ , то есть $x^2 - 2x - 8 \le 0$ , $-2 \le x \le 4$ .
4.Без ОДЗ в ответ попал бы промежуток $[-2; 0)$ : там $x(x - 2) > 0$ , но $\log_2 x$ не существует. С ОДЗ: $2 < x \le 4$ .

Ответ: $(2; 4]$

Логарифм произведения с модулем

Если $fg > 0$ , но знаки $f$ и $g$ на ОДЗ меняются, пишите модули: $\log_a(fg) = \log_a|f| + \log_a|g|$ и $\log_a \frac{f}{g} = \log_a|f| - \log_a|g|$ . Это верно, потому что $fg = |f| \cdot |g|$ при $fg > 0$ .

Одинаковые логарифмы с модулем сокращаются. Оставшийся модуль даёт неравенство $|u| \le c$ , то есть $-c \le u \le c$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство $7 \log _{12} \left(x^{2} - 13 x + 42\right) \leq 8 + \log _{12} \frac{\left(x - 7\right)^{7}}{x - 6} .$

Решение

ОДЗ: $x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7) > 0$ и $\frac{(x - 7)^7}{x - 6} > 0$ . Второе условие равносильно $\frac{x - 7}{x - 6} > 0$ , как и первое. ОДЗ: $x < 6$ или $x > 7$ .
Знаки $x - 6$ и $x - 7$ на двух частях ОДЗ разные, поэтому нужны модули: $7\log_{12}|x - 6| + 7\log_{12}|x - 7| \le 8 + 7\log_{12}|x - 7| - \log_{12}|x - 6|$ .
$7\log_{12}|x - 7|$ сокращается: $8\log_{12}|x - 6| \le 8$ , $\log_{12}|x - 6| \le 1$ , $0 < |x - 6| \le 12$ .
$-12 \le x - 6 \le 12$ : $-6 \le x \le 18$ , $x \ne 6$ .
С ОДЗ: $-6 \le x < 6$ или $7 < x \le 18$ .
Ответ: $[-6; 6) \cup (7; 18]$ .

Чётная степень под логарифмом

$\log_a x^2$ существует при всех $x \ne 0$ , а $\log_a x$ — только при $x > 0$ . Поэтому $\log_a x^2 = 2\log_a|x|$ и $\log_a f^{2k} = 2k\log_a|f|$ . Без модуля пропадают решения, где $f < 0$ , и ответ получается неверным.

Обратный переход модуля не требует: $2k\log_a|f| = \log_a f^{2k}$ . Поэтому $\frac{1}{2}\log_{0{,}5}(x - 3)^4 = \log_{0{,}5}(x - 3)^2$ .

Логарифм квадрата и потерянные решения

\log_2 x^2 \le 2

Правая часть

c

2

2\log_2 x \le 2 \iff 0 < x \le 2^{1} = 2

x \in (0;\ 2]

Потерян промежуток

[-2;\ 0)

: при

x < 0

нет

\log_2 x

, а

\log_2 x^2

есть.

Серая кривая —

y = \log_2 x^2

, синяя — выбранная запись. Оранжевый отрезок на оси — решения записи, красный пунктир — потерянные решения. Выбирайте запись и двигайте правую часть

c

Когда модуль снимают

Модуль снимают, когда ОДЗ даёт знак выражения: $|f| = f$ при $f > 0$ . Если в неравенстве есть ещё $\log_a x$ , ОДЗ даёт $x > 0$ , и $\log_a x^4 = 4\log_a x$ . Если знак выражения на ОДЗ меняется, модуль остаётся. Часто такие слагаемые с модулем сокращаются, и разбирать случаи не нужно.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство: $\log _{25} \left(\left(x - 4\right) \left(x^{2} - 2 x - 8\right)\right) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} \left(\left(x - 4\right)^{2}\right) .$

Решение

$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$ , поэтому аргумент первого логарифма — $(x - 4)^2(x + 2)$ . ОДЗ: $(x - 4)^2(x + 2) > 0$ и $(x - 4)^2 > 0$ , то есть $x > -2$ , $x \ne 4$ .
На ОДЗ знак $x - 4$ меняется, поэтому $\log_5\left((x - 4)^2(x + 2)\right) = 2\log_5|x - 4| + \log_5(x + 2)$ и $0{,}5\log_5(x - 4)^2 = \log_5|x - 4|$ .
$\log_{25} u = \frac{1}{2}\log_5 u$ . Неравенство: $\log_5|x - 4| + \frac{1}{2}\log_5(x + 2) + 1 \ge \log_5|x - 4|$ , то есть $\log_5(x + 2) \ge -2$ .
Основание $5 > 1$ : $x + 2 \ge 5^{-2} = \frac{1}{25}$ , $x \ge -1{,}96$ .
С ОДЗ: $-1{,}96 \le x < 4$ или $x > 4$ .
Ответ: $[-1{,}96; 4) \cup (4; +\infty)$ .

Число в аргументе

При $x > 0$ число выходит из аргумента слагаемым: $\log_a(a^m x) = m + \log_a x$ . Например, $\log_4(64x) = 3 + \log_4 x$ , $\log_2 \frac{32}{x} = 5 - \log_2 x$ . Степень $x$ выходит множителем: $\log_4(64x^6) = 3 + 6\log_4 x$ , если ОДЗ уже даёт $x > 0$ .

Так все логарифмы выражаются через $t = \log_a x$ , и неравенство решают заменой.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство $1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - \log _{4} ( 64 x^{6} ) + 12} \geq 0 .$

Решение

ОДЗ: $x > 0$ , $\log_4 x \ne 3$ , второй знаменатель не равен нулю.
При $x > 0$ : $\log_4(64x^6) = 3 + 6\log_4 x$ . Пусть $t = \log_4 x$ . Второй знаменатель: $t^2 - 3 - 6t + 12 = (t - 3)^2$ .
$1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{(t - 3)^2} \ge 0$ . Пусть $s = t - 3$ , $s \ne 0$ : $\frac{s^2 + 5s + 6}{s^2} \ge 0$ , то есть $\frac{(s + 2)(s + 3)}{s^2} \ge 0$ .
$s^2 > 0$ , поэтому $(s + 2)(s + 3) \ge 0$ : $s \le -3$ или $s \ge -2$ , $s \ne 0$ . Значит, $t \le 0$ или $t \ge 1$ , $t \ne 3$ .
Обратная замена, основание $4 > 1$ : $0 < x \le 1$ или $x \ge 4$ , $x \ne 64$ .
Ответ: $(0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; +\infty)$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать