Логарифмические неравенства с переменным основанием

Основание логарифма положительно и не равно 1: $h(x) > 0$, $h(x) \ne 1$. Добавьте эти условия к условиям на аргументы. Точку, где $h(x) = 1$, выкалывают, даже если в ней верно полученное рациональное неравенство.

При $h(x) > 1$ знак при переходе к аргументам сохраняется, при $0 < h(x) < 1$ — меняется (правило основания). Рассмотрите оба случая. В каждом решите систему: условие на основание, сравнение аргументов, ОДЗ. Ответ — объединение решений двух случаев.

Иногда ОДЗ оставляет только один случай. В $\log_{x + 1}(x^2 - 5x + 7) \le \log_{x + 1} x$ аргумент $x$ положителен, поэтому основание $x + 1 > 1$. Второй случай пуст, и неравенство решают как с числовым основанием больше 1.

Оба случая сразу учитывает одно неравенство. На ОДЗ разность $\log_h f - \log_h g$ имеет тот же знак, что $(h - 1)(f - g)$. При $h > 1$ множитель $h - 1$ положителен, и знак даёт $f - g$. При $0 < h < 1$ он отрицателен и меняет знак $f - g$. Поэтому $\log_h f \le \log_h g$ на ОДЗ равносильно $(h - 1)(f - g) \le 0$.

ОДЗ пишут обязательно: без неё рациональное неравенство даёт лишние точки. В решении назовите переход: «на ОДЗ знак разности логарифмов совпадает со знаком $(h - 1)(f - g)$». Тот же приём для числового основания — в теме Логарифм как множитель, для степеней — в теме Замена множителя с тем же знаком.

Один логарифм — это разность $\log_h f - \log_h 1$. Поэтому на ОДЗ знак $\log_h f$ совпадает со знаком $(h - 1)(f - 1)$. Если такой логарифм стоит множителем в произведении или в дроби, замените его этим произведением и решите неравенство методом интервалов.

Если $x$ стоит только в основании, а аргумент — число, перейдите к числовому основанию: $\log_h c = \frac{1}{\log_c h}$. Это частный случай формулы перехода. Основание-квадрат даёт модуль: $\log_{(x + 4)^2} 7 = \frac{1}{2\log_7|x + 4|}$. Затем сделайте замену $t = \log_c h$; условие $h \ne 1$ даёт $t \ne 0$.

Если $x$ стоит и в основании, и в аргументе, разложите аргумент: $\log_x(2x^2) = \log_x 2 + 2$, $\log_{2x} x = \frac{1}{\log_x 2 + 1}$. Тогда все логарифмы выражаются через $u = \log_x 2$.