Репет
Задание 8
тема 5 из 10

Переход к новому основанию

Логарифм можно записать через логарифмы с любым другим основанием: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}. В задании 8 формулу читают справа налево: дробь двух логарифмов с одним основанием сворачивают в один логарифм. В произведении log⁡ab⋅log⁡bc\log_a b \cdot \log_b c среднее число сокращается.

Часто в задании8На карте навыков

Формула перехода к новому основанию

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} для a>0a > 0, a≠1a \ne 1, b>0b > 0, c>0c > 0, c≠1c \ne 1.

  • Дробь логарифмов с одним основанием сверните в один логарифм: log⁡cblog⁡ca=log⁡ab\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b.
  • Основание нового логарифма — аргумент знаменателя.
  • В произведении log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c среднее число b≠1b \ne 1 сокращается.

Почему формула верна

Пусть log⁡ab=t\log_a b = t, то есть at=ba^t = b. Возьмите логарифм по основанию cc от обеих частей: log⁡cat=log⁡cb\log_c a^t = \log_c b. Показатель аргумента выходит множителем: tlog⁡ca=log⁡cbt\log_c a = \log_c b, откуда t=log⁡cblog⁡cat = \frac{\log_c b}{\log_c a}. Число tt не зависит от cc, поэтому дробь одинакова при любом основании cc.

Новое основание не меняет дробь

log⁡325log⁡35\frac{\log_{3} 25}{\log_{3} 5}
Основание c\text{Основание } c
log⁡325≈2,930\log_{3} 25 \approx 2{,}930
log⁡35≈1,465\log_{3} 5 \approx 1{,}465
log⁡325log⁡35=log⁡525=2\frac{\log_{3} 25}{\log_{3} 5} = \log_{5} 25 = 2
Основание c=3c = 3 меняет числитель и знаменатель, но не их частное. Дробь равна log⁡525=2\log_{5} 25 = 2, так как 25=5225 = 5^{2}.
В числителе и в знаменателе стоят логарифмы с одним основанием cc. Выбирайте cc: числитель и знаменатель меняются, а дробь — нет.

Дробь логарифмов с одним основанием

Дробь равна одному логарифму. Его основание — аргумент знаменателя, его аргумент — аргумент числителя. Дробь логарифмов — не логарифм дроби: аргументы не делят.

Пример

Найдите log⁡325log⁡35\frac{\log_3 25}{\log_3 5}.

  1. 1.Аргумент знаменателя — 5, он становится основанием: log⁡325log⁡35=log⁡525\frac{\log_3 25}{\log_3 5} = \log_5 25.
  2. 2.52=255^2 = 25, поэтому log⁡525=2\log_5 25 = 2.

Ответ: 22

Дробь и ещё один логарифм

Сверните дробь по формуле перехода. Получится логарифм с тем же основанием, что у второго слагаемого. Затем сложите логарифмы по свойству суммы.

Пример

Найдите значение выражения log⁡928log⁡97+log⁡774\frac{\log_9 28}{\log_9 7} + \log_7 \frac{7}{4}.

  1. 1.log⁡928log⁡97=log⁡728\frac{\log_9 28}{\log_9 7} = \log_7 28.
  2. 2.log⁡728+log⁡774=log⁡7(28⋅74)=log⁡749\log_7 28 + \log_7 \frac{7}{4} = \log_7 \left(28 \cdot \frac{7}{4}\right) = \log_7 49.
  3. 3.log⁡749=2\log_7 49 = 2.

Ответ: 22

Основания — степени одного числа

Если аргументы одинаковые, а одно основание — степень другого, показатель основания выходит множителем 1k\frac{1}{k}: log⁡akb=1klog⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b. Тогда дробь — просто число.

Пример

Найдите log⁡98log⁡818\frac{\log_9 8}{\log_{81} 8}.

  1. 1.81=9281 = 9^2, поэтому log⁡818=12log⁡98\log_{81} 8 = \frac{1}{2}\log_9 8.
  2. 2.log⁡98:12log⁡98=2\log_9 8 : \frac{1}{2}\log_9 8 = 2.

Ответ: 22

Произведение логарифмов

В log⁡ab⋅log⁡bc\log_a b \cdot \log_b c аргумент первого логарифма — основание второго. Запишите второй логарифм по основанию aa: log⁡bc=log⁡aclog⁡ab\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}. Множитель log⁡ab\log_a b сокращается, и остаётся log⁡ac\log_a c.

Сокращается только среднее число. Число перед логарифмом остаётся множителем.

Пример

Найдите значение выражения 4log⁡1,255⋅log⁡50,84\log_{1{,}25} 5 \cdot \log_5 0{,}8.

  1. 1.Число 5 сокращается: 4log⁡1,255⋅log⁡50,8=4log⁡1,250,84\log_{1{,}25} 5 \cdot \log_5 0{,}8 = 4\log_{1{,}25} 0{,}8.
  2. 2.Запишите дроби обыкновенными: 0,8=45=(54)−1=1,25−10{,}8 = \frac{4}{5} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} = 1{,}25^{-1}, поэтому log⁡1,250,8=−1\log_{1{,}25} 0{,}8 = -1.
  3. 3.4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4.

Ответ: −4-4

Среднее число сокращается

log⁡27⋅log⁡78\log_{2} 7 \cdot \log_{7} 8
Число m\text{Число } m
log⁡27≈2,807\log_{2} 7 \approx 2{,}807
log⁡78≈1,069\log_{7} 8 \approx 1{,}069
log⁡27⋅log⁡78=log⁡28=3\log_{2} 7 \cdot \log_{7} 8 = \log_{2} 8 = 3
Число 77 — аргумент первого логарифма и основание второго, поэтому оно сокращается. Остаётся log⁡28=3\log_{2} 8 = 3, так как 8=238 = 2^{3}.
Число mm — аргумент первого логарифма и основание второго. Выбирайте mm: множители меняются, а произведение — нет.

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать