тема 1 из 12

Степень и её свойства

Степень $a^n$ с натуральным $n$ — это произведение $n$ множителей, равных $a$ . Нулевую, отрицательную и дробную степень определяют так, чтобы свойства степени выполнялись всегда. Чтобы найти значение выражения, запишите все множители степенями одних оснований и соберите показатели.

Основа для заданий7 10 12 16Главная тема в задании8На карте навыков

Свойства степени
—В аналитике

Что значит степень

Для $a \ne 0$ и натуральных $m$ и $n$ (дробная степень — только для $a > 0$ ):

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}$ , $a^1 = a$ .
$a^0 = 1$ .
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ и $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ .
Чтобы найти значение выражения, запишите все множители степенями одних оснований, обычно простых чисел, и соберите показатели по свойствам степени.

Лесенка степеней

2^{-3} = \frac{1}{8}

a

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

2^{-3} = 1 : 2 : 2 : 2 = \frac{1}{8}

2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}

Шаг вправо — умножение на основание, шаг влево — деление на него. Поэтому

a^0 = a^1 : a = 1

, а

a^{-n} = 1 : a : \ldots : a = \frac{1}{a^n}

. Нажимайте на ступеньки и меняйте основание.

Свойства степени

Свойство	Пример
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^7 : 5^5 = 5^2 = 25$
$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^3 = 3^6 = 729$
$(ab)^n = a^n b^n$	$2^5 \cdot 5^5 = 10^5$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$	$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$

Почему показатели складываются

2^{3} \cdot 2^{-2} = 2^{3 + (-2)} = 2^{1} = 2

m

3

n

-2

2

2

2

2

2

Оранжевые множители — из

2^{3}

, синие — из

2^{-2}

. Сверху 3, снизу 2: пары сокращаются, остаётся

2^{1}

Положительный показатель кладёт множители в числитель, отрицательный — в знаменатель. Пары «сверху и снизу» сокращаются, поэтому при умножении показатели складываются. Двигайте

m

n

Отрицательный показатель

Минус в показателе заменяет основание обратным числом: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$ , например $\frac{1}{125} = 5^{-3}$ . Число при этом не становится отрицательным: $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$ . Десятичную дробь сначала запишите обыкновенной: $0{,}2 = \frac{1}{5}$ , $0{,}25 = \frac{1}{4}$ .

Пример

$0{,}5^{-4}$

1. $0{,}5 = \frac{1}{2}$ .
2.Замените основание обратным числом и смените знак показателя: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$ .

Ответ: $16$

Как найти основание

Если известна степень, основание находят по определению. Если $a^{-1} = 4$ , то $\frac{1}{a} = 4$ и $a = \frac{1}{4}$ . У чётной степени два основания с разными знаками, поэтому нужно условие $a > 0$ . Так находят основание показательной функции по точке графика.

Пример

$a^{-2} = 25$ и $a > 0$ . Найдите $a$ .

1. $a^{-2} = \frac{1}{a^2} = 25$ , поэтому $a^2 = \frac{1}{25}$ .
2. $a > 0$ , поэтому $a = \frac{1}{5} = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Основания — степени одного числа

Запишите каждое основание степенью наименьшего числа и умножьте показатели: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ . Потом сложите или вычтите показатели. Большую степень не вычисляют: $(64^9)^3 : (16^5)^8 = 2^{162} : 2^{160} = 2^2$ .

Пример

$\frac{4^{5{,}1}}{8^{2{,}4}}$

1. $4^{5{,}1} = \left(2^2\right)^{5{,}1} = 2^{10{,}2}$ и $8^{2{,}4} = \left(2^3\right)^{2{,}4} = 2^{7{,}2}$ .
2. $\frac{2^{10{,}2}}{2^{7{,}2}} = 2^{10{,}2 - 7{,}2} = 2^3 = 8$ .

Ответ: $8$

Корень в показателе

Свойства степени верны и для иррационального показателя. Запишите степени с одним основанием и соберите показатели, как обычные выражения с корнем. Слагаемые с корнем сокращаются, поэтому корень не извлекают.

Пример

$25^{2\sqrt{8} + 3} \cdot 5^{-3 - 4\sqrt{8}}$

1. $25^{2\sqrt{8} + 3} = \left(5^2\right)^{2\sqrt{8} + 3} = 5^{4\sqrt{8} + 6}$ .
2. $5^{4\sqrt{8} + 6} \cdot 5^{-3 - 4\sqrt{8}} = 5^{4\sqrt{8} + 6 - 3 - 4\sqrt{8}} = 5^3 = 125$ .

Ответ: $125$

Основания разные

Разложите каждое основание на простые множители. В степень возводят каждый множитель: $12^{5{,}2} = (2^2 \cdot 3)^{5{,}2} = 2^{10{,}4} \cdot 3^{5{,}2}$ . Потом соберите показатели отдельно у каждого простого числа.

Пример

$\frac{2^{3{,}2} \cdot 6^{6{,}2}}{12^{5{,}2}}$

1. $6^{6{,}2} = 2^{6{,}2} \cdot 3^{6{,}2}$ и $12^{5{,}2} = 2^{10{,}4} \cdot 3^{5{,}2}$ .
2.У двойки показатель $3{,}2 + 6{,}2 - 10{,}4 = -1$ , у тройки $6{,}2 - 5{,}2 = 1$ .
3. $2^{-1} \cdot 3 = 1{,}5$ .

Ответ: $1{,}5$

Деление на степень

Деление на $a^n$ — это умножение на $a^{-n}$ . Показатель делителя вычитают, и минус на минус даёт плюс.

Пример

$20^{-3{,}9} \cdot 5^{2{,}9} : 4^{-4{,}9}$

1. $20^{-3{,}9} = 2^{-7{,}8} \cdot 5^{-3{,}9}$ и $4^{-4{,}9} = 2^{-9{,}8}$ .
2.У двойки показатель $-7{,}8 - (-9{,}8) = 2$ , у пятёрки $-3{,}9 + 2{,}9 = -1$ .
3. $2^2 \cdot 5^{-1} = \frac{4}{5} = 0{,}8$ .

Ответ: $0{,}8$

Корни разной степени

Запишите каждый корень степенью: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ . Потом сложите и вычтите дробные показатели: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{7}{12}}$ . Число без корня — степень с показателем $1$ . Корень под знаком логарифма тоже записывают степенью: смотрите логарифм степени.

Пример

$\frac{\sqrt[3]{121} \cdot \sqrt[4]{121}}{\sqrt[12]{121}}$

1. $121^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12}} = 121^{\frac{4 + 3 - 1}{12}} = 121^{\frac{1}{2}}$ .
2. $121^{\frac{1}{2}} = \sqrt{121} = 11$ .

Ответ: $11$

Минус перед степенью

Если минус стоит в скобках, в степень возводят отрицательное число: чётная степень даёт положительное число, нечётная — отрицательное. Без скобок в степень возводят только число, а минус ставят перед результатом: $(-2)^2 = 4$ , а $-2^2 = -4$ .

Пример

$-2^4 + (-2)^3$

1. $-2^4 = -16$ : в степень возводят только $2$ .
2. $(-2)^3 = -8$ : нечётная степень отрицательного числа отрицательна.
3. $-16 + (-8) = -24$ .

Ответ: $-24$

Степени, которые полезно помнить

Основание	Степени
$2$	$2^2 = 4$ , $2^3 = 8$ , $2^4 = 16$ , $2^5 = 32$ , $2^6 = 64$ , $2^7 = 128$
$3$	$3^2 = 9$ , $3^3 = 27$ , $3^4 = 81$ , $3^5 = 243$
$4$	$4^2 = 16$ , $4^3 = 64$ , $4^4 = 256$
$5$	$5^2 = 25$ , $5^3 = 125$ , $5^4 = 625$
$2$	$2^8 = 256$ , $2^9 = 512$ , $2^{10} = 1024$
$3$	$3^6 = 729$
$6$	$6^2 = 36$ , $6^3 = 216$ , $6^4 = 1296$
$7$	$7^2 = 49$ , $7^3 = 343$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать