тема 9 из 12

Показательная функция

График $y = a^x$ всегда проходит через точку $(0; 1)$ , поэтому она ничего не говорит об основании. Основание видно в точках с абсциссой 1 и $-1$ : $f(1) = a$ , $f(-1) = \frac{1}{a}$ .

Основа для задания16Реже в задании12На карте навыков

График показательной функции
—В аналитике

Как найти a

Точка $(x_0; y_0)$ лежит на графике $y = a^x$ , если $a^{x_0} = y_0$ .

Найдите на графике точку в узле сетки, кроме $(0; 1)$ .
Подставьте её координаты: $a^{x_0} = y_0$ . Найдите $a$ .
Проверьте $a$ : график возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$ .
Подставьте нужное $x$ в формулу функции.

Подвигайте показательную функцию

f(x) = {\textcolor{#ea580c}{\underbrace{2}_{a}}}^{x}

\textcolor{#ea580c}{a}^{1} = 2, \quad \textcolor{#ea580c}{a} = 2

Двигайте точку

P

Значения показательной функции в целых точках

Функция	x = −2	x = −1	x = 0	x = 1	x = 2	x = 3
$a^x$	$\frac{1}{a^2}$	$\frac{1}{a}$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$
$2^x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\left(\frac{1}{3}\right)^x$	$9$	$3$	$1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{27}$

Точка с абсциссой 1

$a^1 = a$ , поэтому точка графика с абсциссой 1 — это $(1; a)$ : её ордината и есть основание. Точка $(0; 1)$ есть у всех показательных графиков, потому что $a^0 = 1$ . Основание она не показывает.

$a^x > 0$ при любом $x$ : график лежит выше оси $Ox$ и приближается к ней, но не касается её.

Пример

График функции $f(x) = a^x$ проходит через точку $(1; 2)$ . Найдите $f(5)$ .

1. $a^1 = 2$ , поэтому $a = 2$ .
2. $f(5) = 2^5 = 32$ .

Ответ: $32$

Точка с абсциссой −1

$a^{-1} = \frac{1}{a}$ , поэтому ордината точки с абсциссой $-1$ равна $\frac{1}{a}$ , и $a = \frac{1}{f(-1)}$ . Если $f(-1) = 5$ , то $a = \frac{1}{5}$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображен график функции вида $f \left(x\right) = a^{x} .$ Найдите значение $f ( - 2 ) .$

Правильный ответ

Пояснение

График проходит через $(-1; 4)$ : $a^{-1} = 4$ , то есть $\frac{1}{a} = 4$ и $a = \frac{1}{4}$ . График убывает, это согласуется с $a < 1$ .
$f(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$ . Ответ: 16.

Другая точка графика

Если в узле точка с другой абсциссой, решите $a^{x_0} = y_0$ по свойствам степени. При $a < 1$ и большом $x$ значение функции — маленькая дробь.

Пример

График функции $f(x) = a^x$ проходит через точку $(-2; 4)$ . Найдите $f(4)$ .

1. $a^{-2} = 4$ , то есть $\frac{1}{a^2} = 4$ и $a^2 = \frac{1}{4}$ .
2.Основание положительно, поэтому $a = \frac{1}{2}$ . График убывает.
3. $f(4) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0{,}0625$ .

Ответ: $0{,}0625$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать