тема 13 из 14

Показательные неравенства с группировкой

Если в неравенстве стоят степени разных оснований или четыре слагаемых, сумму раскладывают на множители: выносят общий множитель или группируют по парам. Знак каждого множителя $a^{f} - a^{g}$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$ . Такая замена множителей сводит неравенство к рациональному, а его решают методом интервалов.

Реже в задании16На карте навыков

Показательные неравенства с группировкой
—В аналитике

Разложить и заменить множители

Разложите сумму степеней на множители. Каждый множитель $a^{f} - a^{g}$ замените множителем $(a - 1)(f - g)$ : знак у них одинаковый.

Вынесите числа из показателей: $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x$ , $10^x = 2^x \cdot 5^x$ .
Вынесите общий множитель или сгруппируйте слагаемые по парам.
Запишите каждое число как степень того же основания: $25 = 5^2$ , $3 = 5^{\log_5 3}$ .
Замените каждый показательный множитель линейным с тем же знаком. Положительные множители отбросьте.
Решите рациональное неравенство методом интервалов.

Замена множителя с тем же знаком

При $a > 1$ функция $a^t$ возрастает, поэтому разность $a^{f} - a^{g}$ положительна ровно тогда, когда $f > g$ . При $0 < a < 1$ всё наоборот. Оба случая записывают одной формулой: знак $a^{f} - a^{g}$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$ . Значения у этих выражений разные, а нули и знаки одинаковые. Этот приём называют методом рационализации.

Число без степени сначала запишите степенью того же основания: $2^x - 8 = 2^x - 2^3$ даёт множитель $x - 3$ , а $3^x - 5 = 3^x - 3^{\log_3 5}$ даёт $x - \log_3 5$ (число — не степень). Заменять так можно только множитель произведения или дроби, которую сравнивают с нулём.

Разные значения, одинаковый знак

2^{x} - 2^{1} = 2^{x} - 2

(2 - 1)(x - 1) = x - 1

a

2

Левее

x = 1

оба выражения отрицательны, правее — положительны.

Кривая — график

a^x - a^b

, прямая — график

(a - 1)(x - b)

. Оба выражения равны нулю в точке

b

. Двигайте точку

b

и меняйте основание

a

Произведение и дробь

Если произведение или дробь сравнивают с нулём, замените каждый показательный множитель по правилу $(a - 1)(f - g)$ . Отрицательное число $a - 1$ при $a < 1$ вынесите и поменяйте знак неравенства. Нули новых множителей отметьте на оси вместе с нулями остальных множителей и решите неравенство методом интервалов. Нули знаменателя выколите.

Пример

$(2^{x} - 4)(0{,}5^{x} - 2) \ge 0$

1. $2^x - 4 = 2^x - 2^2$ : знак как у $(2 - 1)(x - 2) = x - 2$ .
2. $0{,}5^x - 2 = 0{,}5^x - 0{,}5^{-1}$ : знак как у $(0{,}5 - 1)(x + 1) = -0{,}5(x + 1)$ .
3.Неравенство с теми же знаками: $-0{,}5(x - 2)(x + 1) \ge 0$ . Разделите на $-0{,}5$ и поменяйте знак: $(x - 2)(x + 1) \le 0$ .
4.Метод интервалов: $-1 \le x \le 2$ .

Ответ: $[-1; 2]$

Общий множитель

Степени одного основания с разными показателями выносят за скобку: $3^{x + 2} - 3^{x} = 3^{x}(3^2 - 1) = 8 \cdot 3^{x}$ . Сумма сворачивается в одну степень с числом. Общий множитель бывает и у степеней разных оснований: $12^x - 8^x = 4^x \cdot 3^x - 4^x \cdot 2^x = 4^x(3^x - 2^x)$ . Множитель $4^x > 0$ знак не меняет.

Пример

$3^{x + 2} - 3^{x} \ge 24$

1.Вынесите $3^x$ : $3^x(9 - 1) \ge 24$ , то есть $8 \cdot 3^x \ge 24$ .
2. $3^x \ge 3$ . Основание $3 > 1$ , знак сохраняется: $x \ge 1$ .

Ответ: $[1; +\infty)$

Разность степеней разных оснований

Разность $a^x - b^x$ при $a > b > 0$ запишите как $b^x\left(\left(\frac{a}{b}\right)^x - 1\right)$ . Множитель $b^x$ положителен, а основание $\frac{a}{b}$ больше 1. Поэтому знак разности совпадает со знаком $x$ : $3^x - 2^x > 0$ при $x > 0$ и $3^x - 2^x < 0$ при $x < 0$ .

Пример

$12^{x} - 8^{x} - 2 \cdot 6^{x + 1} + 3 \cdot 4^{x + 1} + 32 \cdot 3^{x} - 2^{x + 5} \le 0$

1.Вынесите числа из показателей: $2 \cdot 6^{x + 1} = 12 \cdot 6^x$ , $3 \cdot 4^{x + 1} = 12 \cdot 4^x$ , $2^{x + 5} = 32 \cdot 2^x$ .
2.Пары: $12^x - 8^x = 4^x(3^x - 2^x)$ , $-12 \cdot 6^x + 12 \cdot 4^x = -12 \cdot 2^x(3^x - 2^x)$ , $32 \cdot 3^x - 32 \cdot 2^x = 32(3^x - 2^x)$ .
3.Общий множитель: $(3^x - 2^x)(4^x - 12 \cdot 2^x + 32) \le 0$ . Вторая скобка — трёхчлен от $t = 2^x$ : $t^2 - 12t + 32 = (t - 4)(t - 8)$ .
4. $(3^x - 2^x)(2^x - 4)(2^x - 8) \le 0$ . Множители имеют знаки $x$ , $x - 2$ и $x - 3$ .
5. $x(x - 2)(x - 3) \le 0$ . Метод интервалов: $x \le 0$ или $2 \le x \le 3$ .

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [2; 3]$

Группировка по парам

Степень составного основания разложите на степени простых: $10^x = 2^x \cdot 5^x$ , $15^x = 3^x \cdot 5^x$ . Из четырёх слагаемых составьте две пары с одинаковой скобкой: $6^x - 3 \cdot 2^x - 4 \cdot 3^x + 12 = 2^x(3^x - 3) - 4(3^x - 3) = (2^x - 4)(3^x - 3)$ . Каждую скобку замените множителем с тем же знаком.

Нуль показательного множителя часто выражается логарифмом. Сравните его с нулями многочлена: $1 < \log_3 5 < 2$ , потому что $3 < 5 < 9$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство $\frac{15^{x} - 3^{x + 1} - 5^{x + 1} + 15}{- x^{2} + 2 x} \geq 0 .$

Решение

Числитель: $15^x = 3^x \cdot 5^x$ , $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x$ , $5^{x + 1} = 5 \cdot 5^x$ . Пары: $3^x(5^x - 3) - 5(5^x - 3) = (3^x - 5)(5^x - 3)$ .
Знаменатель: $-x^2 + 2x = -x(x - 2)$ .
Замена множителей: $3^x - 5$ имеет знак $x - \log_3 5$ , а $5^x - 3$ — знак $x - \log_5 3$ .
$\frac{(x - \log_3 5)(x - \log_5 3)}{-x(x - 2)} \ge 0$ . Умножьте на $-1$ и поменяйте знак: $\frac{(x - \log_3 5)(x - \log_5 3)}{x(x - 2)} \le 0$ .
Порядок точек: $0 < \log_5 3 < 1 < \log_3 5 < 2$ , потому что $1 < 3 < 5$ и $3 < 5 < 9$ . Точки 0 и 2 выколоты, логарифмы закрашены.
Знаки справа налево: $+,\ -,\ +,\ -,\ +$ . Ответ: $(0; \log_5 3] \cup [\log_3 5; 2)$ .

Многочлен третьей степени от t

После замены $t = a^x$ бывает многочлен третьей степени. Сначала проверьте куб разности: при $t = 2^x$ сумма $8^x - 6 \cdot 4^x + 12 \cdot 2^x - 8$ равна $t^3 - 6t^2 + 12t - 8 = (t - 2)^3$ . Куб имеет тот же знак, что и $t - 2$ .

Иначе ищите целый корень среди делителей свободного члена. Если $t_0$ — корень, многочлен делится на $t - t_0$ , а частное — квадратный трёхчлен.

Пример

$\frac{2^{3x} - 2 \cdot 4^{x + 1} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16}{x - 1} \ge 0$

1.Пусть $t = 2^x$ : $2 \cdot 4^{x + 1} = 8t^2$ , $5 \cdot 2^{x + 2} = 20t$ . Числитель равен $t^3 - 8t^2 + 20t - 16$ .
2.Делители 16: $t = 2$ — корень, $8 - 32 + 40 - 16 = 0$ . Поэтому $t^3 - 8t^2 + 20t - 16 = (t - 2)(t^2 - 6t + 8) = (t - 2)^2(t - 4)$ .
3.Неравенство: $\frac{(2^x - 2)^2(2^x - 4)}{x - 1} \ge 0$ . Множитель $2^x - 2$ имеет знак $x - 1$ , множитель $2^x - 4$ — знак $x - 2$ .
4. $\frac{(x - 1)^2(x - 2)}{x - 1} \ge 0$ . При $x \ne 1$ сократите на $x - 1$ : $(x - 1)(x - 2) \ge 0$ .
5. $x \le 1$ или $x \ge 2$ . Точка 1 выколота: в ней знаменатель равен нулю.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$

Многочлен над полным квадратом

Числитель может быть многочленом от $x$ : $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)^2(x + 1)$ . Знаменатель вида $(a^{x^2} - c)^2$ положителен везде, кроме точек, где $a^{x^2} = c$ . При показателе $x^2$ таких точек две, и обе выколоты. Множитель $(x - 1)^2$ в нестрогом неравенстве даёт отдельную точку ответа.

Пример

$\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64} \le 0$

1.Числитель: $x^2(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)^2(x + 1)$ .
2.Знаменатель: $4^{x^2} = (2^{x^2})^2$ , поэтому он равен $(2^{x^2} - 8)^2$ .
3. $2^{x^2} = 2^3$ при $x^2 = 3$ , то есть при $x = \pm\sqrt{3}$ . В этих точках знаменатель равен нулю, при других $x$ он положителен.
4.Остаётся $(x - 1)^2(x + 1) \le 0$ : $x \le -1$ или $x = 1$ .
5.Выколите $-\sqrt{3}$ : эта точка лежит левее $-1$ . Точка $\sqrt{3}$ в решение не входит.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; -1] \cup \{1\}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать