тема 20 из 20

Уравнения с модулем

Модуль числа — его расстояние от нуля на числовой прямой: $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$ . Уравнение $|f(x)| = c$ при $c > 0$ распадается на два: $f(x) = c$ или $f(x) = -c$ . Если модуль повторяется, его обозначают новой переменной $t \ge 0$ .

Основа для задания19Реже в задании14На карте навыков

Уравнение с модулем
—В аналитике

Как раскрыть модуль

$|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$ . Поэтому $|a| \ge 0$ при любом $a$ .

$|f(x)| = c$ : при $c > 0$ $f(x) = c$ или $f(x) = -c$ ; при $c = 0$ $f(x) = 0$ ; при $c < 0$ корней нет.
$|f(x)| > c$ при $c \ge 0$ : $f(x) > c$ или $f(x) < -c$ . $|f(x)| < c$ при $c > 0$ : $-c < f(x) < c$ .
Если модуль повторяется, обозначьте $t = |f(x)|$ , $t \ge 0$ , и решите уравнение для $t$ .
Выражение $|f(x)| + c$ при $c > 0$ положительно при любом $x$ .

Модуль как новая переменная

Если $|x - 1|$ стоит в уравнении несколько раз, обозначьте его $t$ , причём $t \ge 0$ . Найдите $t$ , отбросьте отрицательные корни и решите $|x - 1| = t$ : это два корня $x = 1 \pm t$ . Условие ОДЗ $|x - 1| > 1$ превращается в $t > 1$ .

Пример

а) Решите уравнение $\log_2(|x - 1| + 2) = 3 - \log_{0{,}5}(|x - 1| - 1)$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-0{,}5; 2{,}2]$ .

1.Пусть $t = |x - 1|$ , $t \ge 0$ . ОДЗ: $t - 1 > 0$ , то есть $t > 1$ . Аргумент $t + 2$ положителен всегда.
2. $0{,}5 = 2^{-1}$ , поэтому $\log_{0{,}5}(t - 1) = -\log_2(t - 1)$ (степень в основании). Уравнение: $\log_2(t + 2) - \log_2(t - 1) = 3$ .
3.Разность логарифмов: $\frac{t + 2}{t - 1} = 8$ , $t + 2 = 8t - 8$ , $t = \frac{10}{7}$ . Это больше 1: корень подходит.
4. $|x - 1| = \frac{10}{7}$ : $x - 1 = \frac{10}{7}$ или $x - 1 = -\frac{10}{7}$ , то есть $x = \frac{17}{7}$ или $x = -\frac{3}{7}$ .
5.б) $\frac{17}{7} > 2{,}2$ , так как $17 > 15{,}4$ . $-\frac{3}{7} > -0{,}5$ , так как $3 < 3{,}5$ : на отрезке лежит только $-\frac{3}{7}$ .

Ответ: а) $-\frac{3}{7};\ \frac{17}{7}$ ; б) $-\frac{3}{7}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать