Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для определения точек экстремума функции сначала вычислим её производную, используя правило дифференцирования произведения:
$y' = ((x^2 + 16x + 64) \cdot e^{3-x})' = (2x + 16) \cdot e^{3-x} + (x^2 + 16x + 64) \cdot e^{3-x} \cdot (-1)$.
Вынесем общий множитель $e^{3-x}$ за скобки и упростим выражение в них:
$y' = e^{3-x} (2x + 16 - x^2 - 16x - 64) = e^{3-x} (-x^2 - 14x - 48)$.
Приравняем полученную производную к нулю. Так как показательная функция $e^{3-x}$ всегда принимает положительные значения, достаточно решить квадратное уравнение:
$-x^2 - 14x - 48 = 0$, что равносильно $x^2 + 14x + 48 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -14 \\ x_1 \cdot x_2 = 48 \end{cases}$
Отсюда находим критические точки: $x_1 = -6$ и $x_2 = -8$.
Определим знаки производной на числовой прямой:

Анализируя смену знаков производной с плюса на минус, делаем вывод, что искомая точка максимума — это $x = -6$.

Ответ: -6

Источник: ФИПИ