Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Ход решения:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = \left(3x - \ln(x + 10)^3\right)' = 3 - \frac{3}{x + 10}$
Заметим, что исходную функцию можно представить как $y = 3x - 3\ln(x + 10)$. Тогда производная примет вид:
$3 - \frac{3}{x + 10} = 0$
Решим уравнение относительно $x$:
$\frac{3(x + 10) - 3}{x + 10} = 0$
$3x + 30 - 3 = 0 \Rightarrow 3x = -27 \Rightarrow x = -9$.
Корень $x = -11$ не рассматривается, так как он не принадлежит области определения функции и заданному отрезку.

Анализируя знаки производной на числовой прямой, видим, что $x = -9$ является точкой минимума. Следовательно, наименьшее значение функции достигается именно в этой точке:
$y(-9) = 3 \cdot (-9) - \ln(-9 + 10)^3 = -27 - \ln(1)^3 = -27 - 0 = -27.$

Ответ: -27

Источник: ФИПИ