Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = 9 - \frac{1}{(x + 5)^9} \cdot 9(x + 5)^8 = 9 - \frac{9}{x + 5}$
(Заметим, что исходная функция определена при $x + 5 > 0$, то есть при $x > -5$).
Решим уравнение $y' = 0$:
$9 - \frac{9}{x + 5} = 0 \implies \frac{9}{x + 5} = 9 \implies x + 5 = 1 \implies x = -4$.
Рассмотрим также критические точки производной в общем виде без учета области определения:
$x_1 = -6, \quad x_2 = -4$.

Анализируя знаки производной на числовой прямой, определим, что точка минимума функции:
$x_{min} = -4$.
Вычислим значение функции в этой точке, чтобы найти её минимум:
$y(-4) = 9 \cdot (-4) + \ln(-4 + 5)^9 = -36 + \ln(1)^9 = -36 + 0 = -36$.

Ответ: -36

Источник: ФИПИ