Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Разбор задания:
Для поиска точки максимума функции необходимо вычислить её производную и найти критические точки, в которых производная обращается в нуль:
$y' = \frac{-2x + 2}{(2 + 2x - x^2) \ln 2}$

Приравняем полученное выражение к нулю:
$\frac{-2x + 2}{(2 + 2x - x^2) \ln 2} = 0$.
Проанализируем корни знаменателя (область определения логарифма):
$2 + 2x - x^2 = 0$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
$D = 4 - 4 \cdot (-2) = 12 = (2\sqrt{3})^2$
Корни квадратного уравнения: $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$, то есть $\left[\begin{matrix} x_1 = 1 + \sqrt{3} \\ x_2 = 1 - \sqrt{3} \end{matrix}\right.$
Следовательно, уравнение для поиска экстремумов принимает вид:
$\frac{-2(x - 1)}{(x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3})) \ln 2} = 0$
Откуда получаем критическую точку $x = 1$.
Воспользуемся методом интервалов для анализа знаков производной:

Исходя из схемы, точки $x = 1 - \sqrt{3}$ и $x = 1 + \sqrt{3}$ являются границами области определения (и точками минимума на краях), а в точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует максимуму функции.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ