Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в ноль:
$y' = (x^2 - 33x + 136\ln x + 6)' = 2x - 33 + \frac{136}{x}$
Приравняем полученное выражение к нулю: $2x - 33 + \frac{136}{x} = 0$.
Приведем уравнение к квадратному виду (учитывая, что $x > 0$ по области определения логарифма): $2x^2 - 33x + 136 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 136 = 1089 - 1088 = 1$.
Найдём корни уравнения: $x = \frac{33 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2}$, откуда получаем два значения: $x_1 = \frac{32}{4} = 8$ и $x_2 = \frac{34}{4} = 8,5$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

Исходя из смены знаков производной, точка $x = 8,5$ является точкой минимума, а искомая точка максимума — это $x = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ