Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим точки, в которых она обращается в нуль:
$y' = \frac{1}{8x} \cdot 8 - 8 = \frac{1}{x} - 8$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$\frac{1}{x} - 8 = 0$
$1 - 8x = 0$
$8x = 1$
$x = \frac{1}{8}$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной с плюса на минус, точка $x = \frac{1}{8}$ является точкой максимума данной функции.
Вычислим наибольшее значение функции, подставив найденную точку в исходное уравнение: $y\left(\frac{1}{8}\right) = \ln\left(8 \cdot \frac{1}{8}\right) - 8 \cdot \frac{1}{8} + 7 = \ln(1) - 1 + 7 = 0 + 6 = 6.$

Ответ: 6

Источник: ФИПИ