Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции сначала вычислим её производную и определим критические точки:
$y' = (x^{1,5} - 6x + 3)' = \frac{3}{2}x^{0,5} - 6$
Приравняем полученное выражение к нулю: $\frac{3}{2}\sqrt{x} - 6 = 0$.
Решим уравнение относительно $x$:
$3\sqrt{x} = 12$
$\sqrt{x} = 4$
Отсюда получаем корень $x = 16$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной с минуса на плюс, делаем вывод, что $x = 16$ является точкой минимума функции.
Вычислим значение исходной функции в этой точке, чтобы найти её минимум: $$y(16) = 16 \cdot \sqrt{16} - 6 \cdot 16 + 3 = 16 \cdot 4 - 96 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29.$$

Ответ: -29

Источник: ФИПИ